A time-adaptive finite element phase-field model suitable for rate-independent fracture mechanics

对裂纹建模是一个重要的课题，无论是在工程学还是数学领域。由于裂纹扩展是由一个自由边界值问题所描述（裂纹的几何形状事先不知道，但是是解的一部分），因此基于相场模型的基础锐界面问题的近似常常被考虑。针对无速率相关的情况，这些模型由能量泛函的单向梯度流来定义。由于这个能量泛函是非凸的，因此诸如位移场和相场变量等变量的演变可能在时间上是不连续的，导致所谓的残酷的裂纹生长。因此，解决方案的概念必须谨慎选择，以便预测物理上合理的不连续性。其中一个解决方案概念是平衡粘度解（BV解），该概念预测物理上合理的能量轨迹，这些轨迹不会跨越能量障碍。本文介绍了一种针对无速率相关断裂的时变自适应有限元相场模型，该模型收敛于BV解。该模型的动机是通过限制裂纹尖端的伪速度来实现。由此产生的受限制的最小化问题通过增广Lagrange方法来解决。数值例子突出了该模型的预测能力，并且进一步展示了最终算法的效率和稳健性。

本文旨在解决裂纹建模中的非凸能量泛函导致的时间不连续性问题，提出了一种基于平衡粘度解的相场模型，通过约束裂纹尖端的伪速度来求解受约束的极小化问题。

本文提出的相场模型可以收敛到平衡粘度解，通过约束裂纹尖端的伪速度来避免时间不连续性问题，使用增广拉格朗日方法来求解受约束的极小化问题。

实验结果表明，该模型可以有效地预测裂纹扩展，并且具有较高的计算效率和鲁棒性。本文使用了时间自适应有限元法来求解相场模型，同时提供了开源代码。

最近的相关研究包括：1. A phase-field model with higher-order derivative terms for brittle fracture; 2. A phase-field model for dynamic brittle fracture with in-plane loading; 3. A phase-field model for fracture in anisotropic media with arbitrary crack topology.