立冬 | 随机游走和电路

随机游走和电路，这两个问题看起来不相关，但却具有相似的数学结构。本文将从一维随机游走讲起，探寻其与电阻网络的联系，并将结论推广到图上的随机游走，量子游走，和布朗运动。

一个醉汉出了酒吧门，来到麦迪逊大道一街区，准备回到位于相隔四街区的家，但是到达一个街区后他只会随机选择一个方向前往下一个街区，一旦回到酒吧就不再出来，那么他今晚成功到家的概率是多少？这个问题可被建模为下图中的随机游走问题。[1]

注意到醉汉没有记忆，到达一个街区后他不依赖已走的路选择前进方向，因此我们可以定义 $p\left(x\right)$ 为醉汉从 $x$ 点出发，在到 $0$ 点之前到达 $5$ 点的概率，而 $p\left(1\right)$ 就是我们所要求的。对于 $x=1,2,3,4$ ， $p(x)$ 满足这样的递推关系：

$\begin{aligned} \\ p(x)=& \mathrm{Pr}[\text{下一步到点}x-1]\mathrm{Pr}[\text{从点}x-1\text{回到家}] \\ &+ \mathrm{Pr}[\text{下一步到点}x+1]\mathrm{Pr}[\text{从点}x+1\text{回到家}] \\ =&\frac{p(x+1)+p(x-1)}{2}, \end{aligned} \tag{1}$ 同时， $p$ 要满足边界条件

$p(0)=0,\quad p(5)=1.\tag{2}$ 这可以被看做一个“给定边界条件和函数性质，求在边界内函数值”的问题，实际上这就是物理中经常出现的迪利克雷问题（Dirichlet problem）的一维特例。

在求解这个问题之前，我们先考虑另一个问题：串联五个相同的电阻，并在两端加上 1V 的电势差，求点 $0,\ldots,5$ 点的电势。

设 $x$ 点电势为 $v\left(x\right)$ ，根据题设， $v\left(0\right)=0,\quad v\left(5\right)=1.\tag{3}$ 令每个电阻为 $R$ ，根据欧姆定律，点 $x$ 到 $x+1$ 的电流为 $\frac{v(x)-v(x+1)}{R}$ 。根据基尔霍夫定律， $x$ 点流入流出电流和为 $0$ ，即对 $x=1,\ldots,4$ ，有

$\tag{L1} \frac{v(x-1)-v(x)}{R}+\frac{v(x+1)-v(x)}{R} = 0,$ 也即 $v(x) = \frac{v(x-1)+v(x+1)}{2}.\tag{4}$ 对比发现， $v\left(x\right)$ 和 $p\left(x\right)$ 满足相同的关系（等式 $(1)$ 和等式 $(4)$ ）和边界条件（等式 $(2)$ 和等式 $(3)$ ），那么我们是否有结论 $v\left(x\right)=p\left(x\right)$ 呢？答案是肯定的。

首先我们证明对于定义在 $0,\ldots,N$ 上的函数 $f$ ，如果满足对于任意 $x=1,\ldots,N-1$ ，

$\tag{5} f(x) = \frac{f(x-1)+f(x+1)}{2},$ 那么 $f$ 的最大值和最小值一定在边界处也就是 $0$ 和 $N$ 处取到。证明的方式是反证法，如果 $f$ 的最大值 $M$ 只能在 $1,\ldots,N-1$ 中取到，不妨设为 $x_{0}$ 。根据等式 $(5)$ ， $f(x_{0})=f(x_{0}-1)=f(x_{0}+1)=M$ ，否则 $f(x_{0}-1)$ 和 $f(x_{0}+1)$ 中一定有一个严格大于 $f(x_{0})$ ，与 $f(x_{0})$ 是最大值矛盾。对 $x_{0}+1,x_{0}-1$ 递归使用这个推断，可以推出对所有 $x=0,\ldots,N$ ， $f\left(x\right)=M$ ，这与 $M$ 只能在 $1,\ldots,N-1$ 中取到矛盾。最小值的证明同理。

接下来，令 $f(x):=v(x)-p(x)$ ，根据等式 $(1)$ 和等式 $(4)$ ， $f(x)$ 满足等式 $(5)$ ，因此 $f(x)$ 的最大和最小值在 $0$ 和 $5$ 上取到，而根据等式 $(2)$ 和等式 $(3)$ ， $f\left(0\right)=f\left(5\right)=0$ ，因此 $f(x)$ 恒等于 $0$ ，即 $v\left(x\right)=p\left(x\right)$ 。通过对电流的计算，容易得到 $v\left(1\right)=\frac{1}{5}=p\left(1\right)$ 。也就是流浪汉有 $\frac{1}{5}$ 的概率在今晚回到家。

整理一下上面的分析，连接这两个的问题的桥梁是他们的解都满足等式 $(5)$ ，而我们证明满足等式 $(5)$ 的函数在给定边界值的时候是唯一确定的。证明的关键是 $n$ 个数中一定存在一个不小于其平均值的数。这个结论可以被推广为：对于 $n$ 个数 $x_1,\ldots,x_n$ 和定义在其上的概率分布 $\{p_i\}_1^n$ ，一定存在一个 $x_i$ 不小于其期望 $\sum_{i=1}^n p_{i}x_{i}$ 。这给了我们一种直觉，上面的分析适用于更一般的情况。

对于更一般的随机游走，醉汉可以处在地点集 $\mathcal{X}$ 中的任意一个，当他处在 $x$ 的时候，会以 $P\left(x,y\right)$ 的概率在下一时刻到达 $y$ （因此 $P\left(x,y\right)$ 需要满足 $\sum_{y\in \mathcal{X}} P(x,y)=1$ ）。酒吧 $a\in\mathcal{X}$ ，家 $z\in\mathcal{X}$ 是两个特殊的地点，仿照前文，定义 $p\left(x\right)$ 为醉汉从 $x$ 处出发，在到酒吧之前先到达家的概率，其满足 $p\left(a\right)=0, p\left(z\right)=1$ 。可以证明对于任意 $x\in \mathcal{X}\setminus \{ a,z \}$ ， $p(x)$ 等于其周围 $p(y)$ 的某种期望，严格来说， $p(x)$ 满足

$\tag{L2} p(x)= \sum_{y \in \mathcal{X}} P(x,y) p(y).$ 对于满足等式 $(L2)$ 的函数，我们称其在 $\mathcal{X}\setminus \{ a,z \}$ 上调和（harmonic）。对于任意 $A\subset \mathcal{X}$ 上调和的函数 $f$ ，给定 $f$ 在 $\mathcal{X}\setminus A$ 上的取值，如果以 $P\left(x,y\right)$ 作为转移矩阵的马尔科夫链是不可约（irreducible）的（一个较为宽松的条件），则可以证明 $f$ 在整个 $\mathcal{X}$ 上的取值是唯一确定的。这个定理的证明类似一维情形，此处略去。

对于一般的电阻网络，假设 $x,y\in\mathcal{X}$ 中的电阻为 $R\left(x,y\right)$ ，根据基尔霍夫定律和欧姆定律其电势函数满足 $\sum_{y}\frac{v(x)-v(y)}{{R(x,y)}} = 0,$ 即

$\tag{7} v(x) = \sum_{y} \frac{\frac{1}{R(x,y)}}{\sum_{z} \frac{1}{R(x,z)}} v(y)$ 也是调和函数。

因为电阻需要满足 $R(x,y)=R(y,x)$ ，所以在 $P(x,y)$ 是可逆的（reversible）时，即存在概率分布 $\pi:\mathcal{X} \to [0,1]$ 使得 $\pi(x)P(x,y)=\pi(y)P(y,x)$ 时，可以找到对应的电阻网络 $R(x,y) = \frac{1}{P(x,y)\pi(x)} = \frac{1}{P(y,x)\pi(y)} = R(y,x)$ 使得等式 $(L2)$ 和 $(7)$ 系数相同。这时如果给该网络加上电压使得 $v(a)=0,v(z)=1$ ，根据调和函数的唯一性，对任意 $x\in \mathcal{X}$ ，

$v(x)=p(x).$ 总结一下，我们借由调和函数的桥梁，连接了电阻网络和随机游走。 $p\left(x\right)$ 在随机游走中和逃逸概率（escape probability），通勤时间（commute time），常反性（recurrence）有密切联系，也因此我们可以用电阻网络中的等效电阻（effective resistance）表示通勤时间，证明波利亚定理（ $d$ 维格点上的简单随机游走在 $d\le2$ 时是常返的，否则是非常返的）。

另外，还可以证明 $p(x)\pi(x)$ 等于从 $z$ 出发在到达 $a$ 之前经过 $x$ 的期望次数，而从 $x$ 流到 $y$ 的电流满足 $\begin{aligned} i(x,y) &= \frac{v(x)-v(y)}{R(x,y)} \\ &= \frac{p(x)-p(y)}{R(x,y)} \\ &= p(x)\pi(x)P(x,y)-p(y)\pi(y)P(y,x), \end{aligned}$ 其中 $p(x)\pi(x)P(x,y)$ 是从 $z$ 到 $a$ 经过 $x\to y$ 的期望次数， $p(y)\pi(y)P(y,x)$ 是从 $z$ 到 $a$ 经过 $y\to x$ 的期望次数，这就给了电流一种符合直觉的概率解释。

在最近的工作 [2][3] 中，量子游走从点 $s$ 出发找到 $t$ 的期望时间被证明正比于 $\sqrt{ C_{s,t} }$ ，其中 $C_{s,t}$ 是 $s$ 和 $t$ 的通勤时间，也就是从 $s$ 出发随机游走到 $t$ 再返回 $s$ 的期望时间。而有趣的是，因为量子游走和经典随机游走存在较大差异，结果中出现的 $\sqrt{ C_{s,t} }$ 在分析中不是通过与经典随机游走的类比得到的，而是借助电阻网络作为桥梁间接得到的。

搭起这座桥的方式是观察到与 $\mathrm{Span}\{|\psi_{x}\rangle= \sum_{y}\sqrt{ P(x,y) } |xy\rangle\}_{x\in \mathcal{X}}$ 正交的量子态可以被写成

$\sum_{x,y} \frac{f(x,y)}{\sqrt{ P(x,y) }}|xy\rangle,$

其中 $f(x,y)$ 满足基尔霍夫电流定律。与 $\mathrm{Span}\{|\psi_{x}\rangle\}_{x\in \mathcal{X}}$ 正交意味着是量子游走算符特征值为 $1$ 的特征向量，该特征空间在量子游走相关的算法中扮演着重要角色。

我们上面考虑的都是离散情形，如果时间和空间都是连续的那情况会如何呢？连续情况下，我们称满足如下方程： $\tag{L3} \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_{i}^2} = 0$ 的二阶连续可微函数 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为调和函数。方程 $(L3)$ 被称为拉普拉斯方程（Laplace's equation），在物理中有广泛应用，无源场中的电势，无热源的稳态热传导系统都满足拉普拉斯方程。

而我们上面列出的方程 $(L1)$ 就对应于连续情况的一维拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=0,$ 方程 $(L2)$ 对应于连续情形调和函数的平均值性质的推广。连续版本的随机游走：布朗运动（Brownian motion）也与调和函数有着密切的联系。

References:

[1] Doyle, Peter G., and J. Laurie Snell. Random walks and electric networks. Vol. 22. American Mathematical Soc., 1984.

[2] Ambainis, Andris, et al. "Quadratic speedup for finding marked vertices by quantum walks." Proceedings of the 52nd Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing. 2020.

[3] Belovs, Aleksandrs. "Quantum walks and electric networks." arXiv preprint arXiv:1302.3143 (2013).

文 | 王昕兆

图 | 除标注外，源自网络

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