随机游走和电路,这两个问题看起来不相关,但却具有相似的数学结构。本文将从一维随机游走讲起,探寻其与电阻网络的联系,并将结论推广到图上的随机游走,量子游走,和布朗运动。
一个醉汉出了酒吧门,来到麦迪逊大道一街区,准备回到位于相隔四街区的家,但是到达一个街区后他只会随机选择一个方向前往下一个街区,一旦回到酒吧就不再出来,那么他今晚成功到家的概率是多少?这个问题可被建模为下图中的随机游走问题。[1]
注意到醉汉没有记忆,到达一个街区后他不依赖已走的路选择前进方向,因此我们可以定义 为醉汉从 点出发,在到 点之前到达 点的概率,而 就是我们所要求的。对于 , 满足这样的递推关系:
下 一 步 到 点 从 点 回 到 家 下 一 步 到 点 从 点 回 到 家 同时, 要满足边界条件
这可以被看做一个“给定边界条件和函数性质,求在边界内函数值”的问题,实际上这就是物理中经常出现的 迪利克雷问题 (Dirichlet problem) 的一维特例。
在求解这个问题之前,我们先考虑另一个问题:串联五个相同的电阻,并在两端加上 1V 的电势差,求点 点的电势。
设 点电势为 ,根据题设,令每个电阻为 ,根据欧姆定律,点 到 的电流为 。根据基尔霍夫定律, 点流入流出电流和为 ,即对 ,有
也即 对比发现, 和 满足相同的关系(等式 和等式 )和边界条件(等式 和等式 ),那么我们是否有结论 呢?答案是肯定的。
首先我们证明对于定义在 上的函数 ,如果满足对于任意 ,
那么 的最大值和最小值一定在边界处也就是 和 处取到。证明的方式是反证法,如果 的最大值 只能在 中取到,不妨设为 。根据等式 , ,否则 和 中一定有一个严格大于 ,与 是最大值矛盾。对 递归使用这个推断,可以推出对所有 , ,这与 只能在 中取到矛盾。最小值的证明同理。
接下来,令 ,根据等式 和等式 , 满足等式 ,因此 的最大和最小值在 和 上取到,而根据等式 和等式 , ,因此 恒等于 ,即 。通过对电流的计算,容易得到 。也就是流浪汉有 的概率在今晚回到家。
整理一下上面的分析,连接这两个的问题的桥梁是他们的解都满足等式 ,而我们证明满足等式 的函数在给定边界值的时候是唯一确定的。证明的关键是 个数中一定存在一个不小于其平均值的数。这个结论可以被推广为:对于 个数 和定义在其上的概率分布 ,一定存在一个 不小于其期望 。这给了我们一种直觉,上面的分析适用于更一般的情况。
对于更一般的随机游走,醉汉可以处在地点集 中的任意一个,当他处在 的时候,会以 的概率在下一时刻到达 (因此 需要满足 )。酒吧 ,家 是两个特殊的地点,仿照前文,定义 为醉汉从 处出发,在到酒吧之前先到达家的概率,其满足 。可以证明对于任意 , 等于其周围 的某种期望,严格来说, 满足
对于满足等式 的函数,我们称其在 上调和 (harmonic) 。对于任意 上调和的函数 ,给定 在 上的取值,如果以 作为转移矩阵的马尔科夫链是不可约(irreducible) 的(一个较为宽松的条件),则可以证明 在整个 上的取值是唯一确定的。 这个定理的证明类似一维情形,此处略去。
对于一般的电阻网络,假设 中的电阻为 ,根据基尔霍夫定律和欧姆定律其电势函数满足 即
也是调和函数。
因为电阻需要满足 ,所以在 是可逆的 (reversible) 时,即存在概率分布 使得 时,可以找到对应的电阻网络 使得等式 和 系数相同。 这时如果给该网络加上电压使得 ,根据调和函数的唯一性,对任意 ,
总结一下,我们借由调和函数的桥梁,连接了电阻网络和随机游走。 在随机游走中和 逃逸概率 (escape probability) , 通勤时间 (commute time) , 常反性 (recurrence) 有密切联系,也因此我们可以用电阻网络中的 等效电阻 (effective resistance) 表示通勤时间,证明波利亚定理( 维格点上的简单随机游走在 时是常返的,否则是非常返的)。
另外,还可以证明 等于从 出发在到达 之前经过 的期望次数,而从 流到 的电流满足 其中 是从 到 经过 的期望次数, 是从 到 经过 的期望次数,这就给了电流一种符合直觉的概率解释。
在最近的工作 [2][3] 中,量子游走从点 出发找到 的期望时间被证明正比于 ,其中 是 和 的通勤时间,也就是从 出发随机游走到 再返回 的期望时间。而有趣的是,因为量子游走和经典随机游走存在较大差异,结果中出现的 在分析中不是通过与经典随机游走的类比得到的,而是借助电阻网络作为桥梁间接得到的。
搭起这座桥的方式是观察到与 正交的量子态可以被写成
其中 满足基尔霍夫电流定律。与 正交意味着是量子游走算符特征值为 的特征向量,该特征空间在量子游走相关的算法中扮演着重要角色。
我们上面考虑的都是离散情形,如果时间和空间都是连续的那情况会如何呢?连续情况下,我们称满足如下方程: 的二阶连续可微函数 为调和函数。方程 被称为拉普拉斯方程 (Laplace's equation) ,在物理中有广泛应用,无源场中的电势,无热源的稳态热传导系统都满足拉普拉斯方程。
而我们上面列出的方程 就对应于连续情况的一维拉普拉斯方程 方程 对应于连续情形调和函数的平均值性质的推广。连续版本的随机游走:布朗运动 (Brownian motion) 也与调和函数有着密切的联系。
References:
[1] Doyle, Peter G., and J. Laurie Snell. Random walks and electric networks. Vol. 22. American Mathematical Soc., 1984.
[2] Ambainis, Andris, et al. "Quadratic speedup for finding marked vertices by quantum walks." Proceedings of the 52nd Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing. 2020.
[3] Belovs, Aleksandrs. "Quantum walks and electric networks." arXiv preprint arXiv:1302.3143 (2013).
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