Beyond Euclid: An Illustrated Guide to Modern Machine Learning with
Geometric, Topological, and Algebraic Structures
欧几里得几何学的持久影响支撑着经典机器学习,几十年来,这种学习方法主要用于欧几里得空间中的数据。然而,现代机器学习越来越多地遇到天然的非欧几里得结构的复杂结构数据。这些数据可能展示出复杂的几何、拓扑和代数结构:从时空曲率的几何到大脑神经元之间的拓扑复杂相互作用,再到描述物理系统对称性的代数变换。从这样的非欧几里得数据中提取知识需要更广泛的数学视角。回应19世纪引起非欧几里得几何学的革命,一个新兴的研究方向正在用非欧几里得结构重新定义现代机器学习。其目标是将经典方法推广到具有几何、拓扑和代数的非传统数据类型。在本综述中,我们提供了一个易于理解的入门,介绍了这个快速发展的领域,并提出了一个图形分类法,将最新进展整合成一个直观的统一框架。我们随后从中提取出对当前挑战的见解,并突出未来发展中令人兴奋的机会。