Sheaf theory: from deep geometry to deep learning

本文综述了层论在深度学习、数据科学以及计算机科学中的应用。正文部分作为对应用和计算层论的友好介绍，旨在让具备基础数学知识的读者能够理解。我们描述了理论研究者和实践者共同持有的关于层论的直觉和动机，从而将经典数学理论与其在信号处理和深度学习中的最新实现联系起来。我们观察到，通常认为仅限于胞腔层的概念大多可以推广到任意偏序集上的层，这为这些方法在应用中的进一步泛化提供了一条有趣的途径，并且我们提出了一种新的算法来计算任意有限偏序集上的层上同调。通过结合经典理论与最新应用，本工作揭示了当前机器学习实践中的一些盲点。最后，我们列出了一些我们认为在数学上有启发性且在实际中有指导意义的层论应用问题。为了确保层论的介绍是自包含的，附录中提供了严格的数学引论，内容从图示和层的基本概念逐步深入到导出函子、高阶上同调、层拉普拉斯算子、层扩散及其相互关联的主题。

该论文旨在探索和介绍层理论在深度学习、数据科学及计算机科学中的应用，特别是如何将传统的数学理论与现代的信号处理和深度学习实践相结合。这并不是一个全新的问题，但论文尝试以一种更通用的方式将这些概念应用于有限偏序集上的层理论计算。

关键思路在于将通常认为仅限于胞腔层的许多概念推广到任意偏序集上的层，并提出了一种新的算法来计算有限偏序集上的层上同调。这种方法不仅扩展了层理论的应用范围，还为机器学习领域提供了一个新的视角，揭示了当前实践中的一些盲点。

论文的一个亮点是它试图弥合理论研究者与实践者之间的差距，使具有适度数学背景的人也能理解层理论的应用。此外，作者提供了一系列附录，详细介绍了从图示和层到导出函子、高阶上同调等主题，确保了内容的自包含性。虽然没有提及具体实验设计或数据集，但文中提到了开源代码的可能性，鼓励进一步的研究。

最近在这个领域中，相关的研究包括： 1. 'Sheaves, Cosheaves and Applications' - 提供了层理论的基础知识及其在不同领域的应用。 2. 'Topological Data Analysis for Machine Learning' - 探讨了拓扑数据分析在机器学习中的作用。 3. 'Persistent Homology: Theory and Practice' - 深入讨论了持久同调理论及其实际应用。 4. 'Cellular Sheaves of Lattices and the Tarski Laplacian' - 研究了格子胞腔层及其相关拉普拉斯算子。