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编辑：编辑部
【新智元导读】MIT数学教授Larry Guth和牛津大学菲尔兹奖得主James Maynard的一篇新论文获得了数学家陶哲轩的大力推荐，陶认为两人在证明黎曼猜想方面取得了重大突破，尽管离完全解决这一猜想还很遥远。

「千禧年七大数学难题」之一——黎曼猜想（Riemann hypothesis，RH），刚刚取得显著突破，数学家们距离摘取「猜想界的皇冠」又近了一步！

可以说，一直以来，「黎曼猜想」就像大海中的灯塔，为数学领域的发展指明方向。

很多数论和复变函数领域的工作都基于黎曼猜想为真这个前提，因此一旦证明了黎曼猜想，许多其他工作也会得到完整的证明。

5月31日，Larry Guth和James Maynard发表了他们的论文：「New Large Value Estimates for Dirichlet Polynomials」。
论文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552

陶哲轩对这篇论文大加赞赏：

Guth和Maynard对黎曼假设有了显著的突破，对1940年关于黎曼zeta函数零点的经典Ingham界限进行了第一次实质性改进（更广泛地说，控制各种狄利克雷级数的大值）。
他认为这是历史性的时刻，「在黎曼猜想存在之后的八十年里，对这一约束的唯一推动就是对𝑜(1)误差的微小改进」。

尽管他也承认，「离完全解决这个猜想还很远」。

要知道，早在2008年，美国杨百翰大学的数学家Xian-Jin Li也曾在arxiv上发表过一篇论文，宣称证明了黎曼猜想。后被陶哲轩和法国数学家Alain Connes（均为菲尔兹奖得主）无情地指出了Li证明过程中的错误。

那么，这次Guth和Maynard的研究能得到陶哲轩的转发，可见其意义非凡了。

Guth-Maynard估计

如果令𝑁(σ,𝑇)表示实部至少为σ、虚部至多为𝑇的黎曼zeta函数的零点数量，黎曼猜想告诉我们，对于任何σ>1/2，𝑁(σ,𝑇)都会消失，当然我们不能无条件地证明这一点。 
但下一步，我们可以证明零密度估计，也就是𝑁(σ,𝑇)的非平凡上界。
事实证明，σ=3/4 是一个关键值。1940年，Ingham得出了一个结果——𝑁(3/4,𝑇)≪𝑇^{3/5+𝑜(1)}。 
在接下来的八十年里，对该界限的唯一改进是对𝑜(1)误差的小幅改进。
这限制了我们在解析数论中做很多事情：例如，为了在(𝑥,𝑥+𝑥^𝜃)形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，我们长期以来一直被限制在𝜃>1/6 ，主要障碍是Ingham界限缺乏改进。
Guth和Maynard的最新研究成功改进了Ingham界限，从3/5=0.6降低到13/25=0.52。 
这带来了解析数论的许多相应改进；例如，在几乎所有短区间内，可以证明的素数定理的范围从𝜃>1/6=0.166… 变为𝜃>2/15=0.133…（如果黎曼猜想为真，将意味着我们可以覆盖整个𝜃>0的范围）。

这些论证本质上主要基于傅立叶分析。 前几步是标准步骤，许多试图打破Ingham界限的分析数论学家都能认出这些步骤。
但他们有许多巧妙且出乎意料的操作，比如，通过将关键的相位矩阵𝑛^{𝑖𝑡}=𝑒^{𝑖𝑡log⁡𝑛}提升到六次方来控制它（表面上看，这使问题变得更加复杂且棘手）；
以及，拒绝使用驻相法来简化某个复杂的傅里叶积分，从而在指数上让步，以保留一种最终证明比驻相近似更有用的因式分解形式；并根据Dirichlet级数大值出现的位置是否具有小、中或大的加法能量来划分情况，并对每种情况采用稍微不同的论证方法。
在这里，隐含在Dirichlet级数中的相位函数𝑡log⁡𝑛的精确形式变得非常重要；这是利用解析数论中出现的特殊指数和的一种意想不到的方式，而不是在调和分析中可能遇到的更一般的指数和。

黎曼猜想

黎曼猜想起源于伟大的德国数学家高斯，他给出了一个公式，能够近似地预测出给定范围内的素数个数。

高斯

1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼改进了高斯的公式，发表在论文「论小于给定数值的质数个数」中，就成为了赫赫有名的「黎曼猜想」。

波恩哈德·黎曼

黎曼发现，质数的分布跟某个函数有密切关系：

在这个zeta函数中，s是复数，可以写成s=a+bi这样的形式，其中a表示实部，b表示虚部。

数学家们可以轻易证明，只要s的实部大于1，那么整个无穷级数里，把每一项的绝对值相加后，zeta函数会收敛并趋近于某个定值。

当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的zeta函数改写为：

当s为负偶数（s= -2, -4, -6…）时，函数值为零。这些s的值，就称为平凡零点。

此外还有另一些s的值，能够让黎曼zeta函数值为零，它们被称为非平凡零点。正是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。

到了这里，黎曼本人也无法证明了。

不过他做了一个猜测：zeta函数所有非平凡零点的实部都是1/2，或者说黎曼zeta函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。这就是黎曼猜想。

随后的数学家们，在前人的基础上继续前进。为此，数学家狄利克雷引入了狄利克雷L函数。

对于这个函数，也有一个猜想：狄利克雷L函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。这就是广义黎曼猜想。

更直观地说，根据zeta函数能够画出无穷多个点。黎曼猜测，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外。

由于有无穷多个点，所以不能用枚举法证明所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。

但是，只要有一个点不在这两条直线上，那就能推翻黎曼猜想。

数学家们已经使用计算机验证了最初的1亿亿个点，全都符合黎曼猜想的排列规律。

许多年来，许多数学家为了证明这个猜想前赴后继，但无一人能够捧回这个「数学界的圣杯」，甚至不乏有数学家为此而抱憾离世，将无尽的思考留给了后人。

美国数学家Hugh Montgomery甚至表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，大多数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。

论文介绍

在本文中，研究者证明了狄利克雷级数大值频率的新边界。
主要结果如下——
定理 1.1（大值估计）
假设是一个的自变数序列，而是[0,T] 中的一个1-分隔点序列，使得对于所有r≤R，都有。
这样就得到了。
定理1.1的边界可以和的边界做对比，这是结合了经典的狄利克特多项式均值定理和蒙哥马利-哈拉什-赫胥黎大值估计得出的。
定理1.2（零密度估计）
设N(o,T)表示且时Ç(s)的零点个数。那么我们有。
结合Ingham在ζ<7/10时的估计值，我们得到。
指数30/13改善了之前由赫胥黎提出的指数12/5，这对短区间中的素数分布有如下推论。
推论1.3（短区间内的素数计数）
设，那么我们有。
定理1.4（几乎所有短区间中的素数计数）
设，则对于除以外的所有，我们都有。

作者介绍

发表这篇突破性论文的两位作者Larry Guth和James Maynard都是数学领域非常杰出的学者。

James Maynard从2018年起任教于牛津大学数学研究所。他本科毕业于剑桥大学，博士毕业于牛津大学，曾在蒙特利尔、UC伯克利、普林斯顿等学校进行博士后研究。

Maynard的研究主要关注解析数论，尤其是质数的分布，和黎曼猜想的内容非常契合。他常常借用组合学、分析和代数的思想，试图回答数论中的经典问题。

2022年，35岁的Maynard就因为对解析数论的贡献获得了菲尔兹奖。菲尔兹奖每四年颁发一次，且只授予40岁以下的学者，是年轻数学家所能企及的最高荣誉。

Larry Guth是MIT的一名数学教授，研究兴趣包括度量几何、组合几何和谐波分析。

从2012年到2017年，他在MIT开设过解耦理论、实数分析、傅里叶分析、流形几何等多门课程。现在还能在油管和MIT的网站上找到他的课程录像。

https://www.youtube.com/watch?v=i7iM72VdELI

Guth于2005年在MIT获得博士学位，曾在斯坦福大学进行博士后研究，并于2012年加入MIT数学系担任教授。曾被当选为美国数学学会、美国艺术与科学院、美国国家科学院的院士。

2015年Guth就获得了英国Clay数学研究所的研究奖，正是这个研究所将黎曼猜想列为「千禧年七大数学难题」之一。

参考资料：

https://mathstodon.xyz/@tao/112557248794707738

https://arxiv.org/abs/2405.20552




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