惊蛰 | 量子伪随机性遇上AdS/CFT对偶

类比入门：

先来说说经典“伪随机”是什么意思。在日常生活中，“随机”通常指没有规律、不可预测的现象。例如抛硬币、摇骰子，结果看似随机。但在计算机中，我们常用算法生成伪随机数：计算机按照某个隐藏的公式产生一连串数字，看起来杂乱无章，就像真的随机一样，但其实背后有确定性的程序在运行，只是这个程序足够复杂、外人无法预测（无法通过多项式时间的算法来将其和“真随机”有效区分开来）所以对观察者而言这些数字是“伪装”的随机。

量子世界的伪随机：

量子系统的状态也可以通过量子电路等方式被精心设计，使其对任何高效（多项式时间）的观测或算法来说都表现得跟真正的随机量子态无异。换句话说，即使这量子态是由某种规则产生的，任何在合理时间内运行的量子计算机都看不出它和完全乱七八糟的量子态有区别。它提供了一种“计算上的近似”，让我们能够用确定性的方式得到一个看起来完全随机的量子状态，就好比一个魔术师按照特定手法洗牌，洗出的牌局对于观众而言和彻底乱洗没有两样。正因如此，科学家把这类状态称为伪随机量子态。

举个例子：

想象有台神奇的量子机器（Oracle），里面有把“密钥”。只要有这把密钥，这台机器每次都能产生相同的量子序列；但如果你不知道密钥，机器吐出的结果在你眼中就是完全随机的不可预测的。这就类似量子版的加密随机数发生器。由于观测者无法区分这样的量子态和真正的随机态，这种伪随机量子态在量子加密中很有用。例如，研究发现一系列伪随机量子态可以用于构造量子货币，在没有密钥的情况下无法被伪造或克隆，因为任何高效的量子算法都无法从有限样本中复制出一模一样的态^[1]。总而言之量子伪随机性是用复杂但确定的量子过程，产生表面全随机的效果。这概念是近几年才被正式提出并证明可行^[1]，它将经典密码学的思想拓展到了量子领域。

现在让我们转换频道，聊聊高深的物理——AdS/CFT 对偶。这个名字听上去拗口，其实包含两个部分：“AdS”和“CFT”。AdS 指的是反德西特空间（Anti-de Sitter space），可以简单理解为一种带有引力的弯曲时空；CFT 指的是共形场论（Conformal Field Theory），是一种不含引力的量子场论。AdS/CFT 对偶宣称，一个存在于弯曲时空中的引力理论，等价于一个低一维、没有引力的量子理论^[2]。因为这种对应关系，AdS/CFT对偶也被形象地称为“全息原理”的实现，就像三维的全息图可以在二维的胶片上记录一样，带引力的高维世界被“一一对应”地刻画在低维的无引力世界上。

打个比方：

想象一个立体的舞台剧（有布景、有角色，在三维空间中上演），和一部高清电影（在二维屏幕上播放）。AdS/CFT 对偶告诉我们，这台舞台剧的一举一动，都有一部电影作为完全等价的描绘。舞台上的引力、道具的质感，全部都投影到了电影里的人物和特效中。尽管一个是真人在 3D 舞台上表演，另一个只是 2D 画面，但两者剧情丝毫不差。

由来与意义：

AdS/CFT 对偶由物理学家胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）在1997年提出，一经问世便轰动了物理学界。它之所以重要，部分原因在于它提供了一个解决难题的新窗口。例如，在粒子物理中，有些强相互作用的问题非常棘手，用普通方法算不出来。但 AdS/CFT 是一个强弱对偶——意思是当共形场论这边计算很困难（强耦合）时，对应的 AdS 那边引力计算反而简单很多（弱耦合）^[3]。科学家可以借助AdS一侧较容易的计算，来推测 CFT 那边的结果，反之亦然。这种方法被应用在包括黑洞物理、夸克胶合、甚至凝聚态物理等各个领域，帮助人们揭开强相互作用难题的一角。简而言之，AdS/CFT 对偶让两个看似迥异的理论“握手言和”，提供了理解宇宙的一种全新视角。

黑洞、复杂度与伪随机：

AdS/CFT 对偶最著名的应用之一是研究黑洞。在 AdS 时空里，往往可以放入一个黑洞；那么在 CFT 那边，这就对应于一种高温的量子态（类似“热汤”一锅，粒子无规则运动）。著名物理学家莱昂纳德·萨斯坎德（Leonard Susskind）提出猜想：黑洞内部虫洞（爱因斯坦-罗森桥）的体积可能对应于 CFT 量子态的电路复杂度（可以理解为生成这个量子态所需的最短计算步骤数）^[4]。随着时间推移，黑洞内部的虫洞体积会不断增长，那么 CFT 一侧的量子态复杂度也应不停增加。这就引出了一个有趣的问题：我们能否直接从 CFT 状态中“感觉到”这种复杂度的增长？换言之，给你这个量子态，你能看出它已经演化了很久、内部已经形成一个很大的虫洞吗？

最新研究显示，这几乎是不可能的！研究者通过巧妙设计，在 CFT 这边构造出了一类量子伪随机态，其特点是无论你用多聪明的实验去分析，都测不出它究竟蕴含多少复杂度^[5]。对任何高效的量子实验而言，这些状态看起来就和完全随机的量子态没啥两样——就像前面讲的伪随机数，你无法区分它和真随机。换句话说，这些对应黑洞内部演化后的量子态，其复杂度对观测者来说是“不可感知” 。然而，在 AdS 那一侧，引力理论中的虫洞体积（对应同一个状态）在原理上是可以通过引力方程计算出来的，它并不随机。这里就出现了一个耐人寻味的不对称：一边是“隐藏”的（或伪随机的）复杂度，另一边是可计算的几何量。

关联的启示：

这种不对称意味着，如果 AdS/CFT 对偶真的严格成立，那么二者之间的对应关系（俗称“字典”）中必然存在极其庞大的计算复杂度，否则我们就能轻易从 CFT 侧读出 AdS 侧的信息^[5]。简单来说，AdS 和 CFT 之间的信息翻译过程本身可能就像一道牢不可破的加密：只有经历指数级复杂的计算才能将其中隐藏的信息还原。这一发现源自于一个被称为“虫洞生长悖论”的思考实验。按照萨斯坎德的设想，黑洞内部的体积不断增长，而 CFT 一侧如果无法察觉这种增长，就好像信息被“锁住”了一样。如今通过量子伪随机性的角度，我们看到了锁住信息的锁究竟有多难开——它等价于破解一个复杂的量子密码。

更形象地说，黑洞就像自然界的终极伪随机发生器。当你往黑洞里扔东西时，掉进去的信息被高速搅拌，“熵增”得乱七八糟，然后以霍金辐射的形式缓缓泄出。在外人看来，霍金辐射就是一堆完全随机的粒子，原本掉进去的信息似乎无从辨认。但按照量子理论，霍金辐射并非真随机，只是看起来随机——信息其实还潜藏其中，没有真正消失。这和我们前面说的伪随机非常相似：有规律，只是深得令人看不出规律。AdS/CFT 对偶为这种黑洞的信息丢失悖论提供了一个平台：黑洞的信息全息地保存在 CFT 状态里，只是以极其复杂的方式编码，我们当前的任何可行手段都难以将其解码出来。

[1] Yi-Kai Liu, Zhengfeng Ji, Fang Song. Pseudorandom Quantum States. Crypto 2018.

[2] Igor R. Klebanov, Edward Witten. AdS/CFT correspondence and symmetry breaking. Nuclear Physics B, Volume 556, Issues 1–2.

[3] Wikipedia contributors. (n.d.). AdS/CFT correspondence. In Wikipedia. Retrieved February 27, 2025, from https://en.wikipedia.org/wiki/AdS/CFT_correspondence

[4] Leonard Susskind. Computational complexity and black hole horizons. arXiv:1402.5674.

[5] Adam Bouland, Bill Fefferman, Umesh Vazirani. Computational pseudorandomness, the wormhole growth paradox, and constraints on the AdS/CFT duality. arXiv:1910.14646

文 | 周烁