理解重整化群的关键概念：对称性、不变结构与变换群

导语

自然界充满了看似千变万化的运动与现象，但在这些复杂的表象背后隐藏着不易察觉的规律。对称性和不变性正是揭示这些规律的钥匙，它们决定了物理基本规律不受时间、空间或尺度变换的影响，并通过诺特定理直接指向能量、动量、角动量等守恒量。与此同时，在多体系统的相变临界点，微观和宏观行为呈现出对尺度变化的无感，标度不变性（scale invariance）让不同尺度的涨落具有同样的特征。这些理念不仅塑造了现代理论物理，也在非线性动力学与复杂系统建模中发挥核心作用。

为了帮助大家深入理解对称性、守恒定律与群理论，兰岳恒教授将在「重整化群分析在非线性物理中的应用」第二课中聚焦以下问题：物理定律为何与某些变换“同形”；守恒量如何从对称性中“长出”；时间反演、可逆性与保守系统有何联系；如何用群论语言描述变换；当对称性失效或被创造时会发生什么；以及重整化群如何揭示多尺度现象背后的普适性。欢迎您一起探索！

主题：对称性、不变结构与变换群

课程简介

对称性与守恒律是现代物理中的重要概念，贯穿于物理研究的各个领域。除了常见的三种连续对称性之外，我们强调尺度不变性及其相关的Pai定理，这是传统重整化群运作的基石。在非线性动力学中对称性也极其重要，连续对称能够降低系统维度获得解析解，离散对称能够帮助我们约简计算、判断特殊轨道的存在。这样我们就过渡到对称性和不变性的一般描述——群论。这里主要强调群的封闭性，以及同构、同态的概念，可以与复杂系统信息的整合、分解、变换和约化联系起来。

课程大纲

物理中的对称性与守恒律

时空平移和旋转与能量、动量、角动量守恒的关系；介绍诺特定理及其简单运用。
宇宙的其他不变性或协变性：伽利略变换、洛伦兹变换、规范不变性、普适常数的通用性。
标度不变性与伯克利哈姆Π定理——无量纲分析在建模中的作用；临界现象与尺度不变性；重整化群思想与普适性简介。

非线性动力学中的不变性与对称性

保守系统：能量守恒与李雅普诺夫函数；非线性中心；非线性中心的几何意义。
可逆系统：时间反演对称性定义；一维与二维可逆系统的周期轨道；异宿与同宿轨道的出现。
单摆模型：方程推导与无量纲化；定点的分类（中心与鞍点）；相图与摆动/旋转区分；阻尼单摆的能量耗散及对称性破缺；圆周/柱面相空间的几何解释。
高维系统的对称性：洛伦兹方程的空间反演对称性；Kuramoto–Sivashinsky 方程的平移和反射不变性及其子空间。

群论初步

群与子群：定义、例子、阿贝尔群与非阿贝尔群。
陪集与商群：左陪集、右陪集的定义与性质；正规子群与商群的构造；拉格朗日定理及其对子群大小的限制。
同态、同构与表示：保持运算的映射，双射同态和同构的定义，简单例子；表示理论将群元素对应到矩阵以方便计算，也可以看成是信息的转换。

总结与展望

对称性不仅减少了自然规律的复杂性，还指导我们寻找未知规律；连续对称性产生的守恒定律是理解自然的基石。
在非线性动力学中，对称性使我们能够识别系统的关键结构与周期行为，可逆性与保守性为理解振荡与轨道分岔提供了工具。
群论以抽象代数的形式刻画所有对称性，商群、同态和表示理论帮助我们发现不同系统在深层结构上的等价性。
对称性可以自发破缺，也可以通过同步等机制产生；重整化群思想揭示了不同尺度之间的联系与普适规律，这将成为后续课程深入探讨的主题。

专业术语

诺特定理、复杂系统、建模框架、尺度不变性、标度变换、重整化群、动力系统、非线性动力学、相空间拓扑、不变集、轨道结构、相图、李布拉振动、旋转运动、同宿轨道、异宿轨道、极限环、非线性中心、协变性、对称性破缺、时间反演对称性、可逆系统、保守系统、守恒量、有效粗粒化、临界现象、普适性、无量纲化、Π定理、群结构、群表示、商群、同态、同构

课程信息

课程主题：对称性、守恒定律与群理论

课程时间：2025年8月3日（周日） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学物理科学与技术学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

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