未知量是函数时，为什么需要无限维？ | 泛函分析第一讲

导语

集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设了「面向应用的泛函分析：空间、算子与结构」课程，本系列课程将以严谨的理论推导为核心，逐步建立泛函分析的基础架构。第一阶段将探讨从有限维跨越到无限维的动机与基础；第二阶段将重点建立度量与完备性，掌握 Banach 空间与不动点定理的精髓；第三阶段将深入探讨 Hilbert 空间的几何结构与对偶空间的映射体系。最终，在第四阶段，将梳理完整的结构总览与应用地图，透视这些纯粹的数学工具如何作为底层基石，广泛应用于现代物理、复杂系统模拟与前沿计算科学中。

作为系列课程的第一讲，贾伊阳老师将以「为什么需要无限维？」为主题，从机器学习基础问题为案例进入泛函分析的场景中，建立函数空间的思想动机。正式分享将于3月29日（周日）19:00-21:00进行。

主题：为什么需要无限维？

课程简介

机器学习中有一类问题，目标不是找一个数或一组参数，而是找一整个函数——用正则化控制模型复杂度，本质是在函数空间里施加范数约束；核方法（SVM、高斯过程）直接工作在无限维Hilbert空间里；变分推断优化的对象是泛函，不是参数。这些方法背后都在用同一套语言：泛函分析。但传统泛函分析课从公理和抽象定义出发，让人很难看出它与实际问题的联系。

作为系列课程的第一讲，将从一个具体的机器学习例子（函数拟合 + 过拟合 + 正则化）出发，以应用问题为起点，循序推导出所需的数学框架。一个核心问题是“为什么需要无限维”，并沿此引出三个核心追问：函数到底属于哪个空间？如何定义两个函数之间的距离与收敛？函数为什么可以当向量用？课程最后通过vector与covector的对偶结构，将泛函的数学定义与机器学习中的优化目标打通。

本节课程面向具备基础线性代数与机器学习背景的学员，以建立应用直觉为优先，数学严格性服务于理解，而非目的本身。

课程大纲

引入：为什么需要无限维
函数到底属于哪个空间

不同函数空间的刻画（连续函数、可微函数、平方可积函数）
函数空间的选择如何影响问题的可解性

谈距离、收敛与稳定性

距离与范数：两个函数怎样算“接近”？
收敛性：一列函数怎样算“收敛”？
稳定性：极限与最优解会不会跑掉？

为什么函数可以看作向量

函数向量空间的线性结构
从有限维线性代数走向无限维函数空间
反例：哪些函数集合不构成向量空间
在函数向量空间可以讨论的问题

泛函、对偶与机器学习

泛函的定义：输入函数、输出实数的映射
Vector与covector（对偶）的概念
Hilbert空间中的对偶结构
机器学习中的对偶视角

总结：函数、向量、对偶、泛函

关键术语

泛函（Functional）：以函数为输入、输出实数的映射，如J[f]对整个函数整体评分。
函数空间（Function Space）：满足特定条件的函数构成的集合，如连续函数空间C[a,b]。
赋范空间（Normed Space）：定义了“长度”（范数）的向量空间，可度量函数大小。
Hilbert空间：完备的内积空间，是无限维几何分析的核心舞台。
正则化（Regularization）：在优化目标中加入范数惩罚，鼓励平滑解、抑制过拟合。
收敛（Convergence）：函数列趋近某极限的过程，不同范数下含义不同。
Covector（对偶向量）：作用在向量上输出实数的线性映射，对应泛函的几何理解。
内积（Inner Product）：衡量两个函数“方向相似程度”的运算，推广自有限维点积。

课程信息

课程主题：为什么需要无限维？

课程时间：2026年3月29日（周三） 19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

贾伊阳，东京都市大学讲师、前日本女子大学助理教授，前日本成蹊大学助理教授。研究重点是计算复杂性，算法，以及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》课程讲师。

课程适用对象

做微分方程、数值算法、反问题、信号处理、控制的学习者与研究者
做优化、机器学习、统计推断，希望理解正则化与泛化的结构来源的研究者
读量子/数学物理文献，希望把 Hilbert 空间与算子语言用顺手的研究者
更广义地：经常处理“函数作为未知量”的问题、并且想要一套可迁移框架的研究者

你会获得

面对一个新问题，你能先问对问题：该在哪个空间里解？该用哪个范数衡量误差？需要什么完备性？算子是否有界？
你能理解常见方法背后的统一逻辑：迭代为何收敛、正则化为何稳定、最小二乘为何等价于投影、弱解为何成立。
你会获得一套“抽象但可落地”的语言：写证明、读论文、做建模时，能把碎片化技巧收束到结构层面。

报名须知

课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。
课程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19点-21点进行。
课程定价：原价499

早早鸟价299，截止时间：2026年3月22日中午12点
早鸟价399，截止时间：2026年3月30日中午12点

课程链接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付费流程：

扫码付费；
课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；
课程可开发票。

课程共创任务：课程字幕

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。