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黄芸、杨明哲 | 作者

作者简介

1. 历史溯源

2. 标准型及其性质

2.1求解不动点

2.2不动点及其稳定性

2.3相图与分岔图

3案例：激光模型

3.1模型描述

3.2分岔点

3.3物理意义

4二维系统及以上

4.1二维标准型

4.2稳定性分析

5相关概念

跨临界分岔（transcritical bifurcation）是动力系统中一类典型的局部分岔现象，其特征是两条平衡点分支在临界点处相交，并在参数穿过临界值时交换稳定性。与鞍结点分岔所对应的平衡点产生或湮灭不同，跨临界分岔描述的是原有状态之间的阈值切换，因此常见于生态、传播和激光等具有“平凡状态—非平凡状态”竞争关系的模型中。分岔图是以导致分岔的参数x为自变量，系统不动点F(x)为因变量，能直观展示参数的取值与不动点的关系，如下图。

1. 历史渊源

跨临界分岔（transcritical bifurcation）并不是在分岔理论早期就以独立术语被明确提出的，而是在现代分岔理论逐步形成的过程中，从一类“平衡分支相交并交换稳定性”的现象中被识别出来的。就概念史而言，庞加莱在1885年讨论“分岔平衡”（Équilibre de bifurcation）时，已经把“参数变化引起平衡结构改变”的问题纳入定性研究视野，但当时的讨论仍停留在一般性的分岔现象层面，尚未把跨临界分岔与后来所说的鞍结点分岔等局部分岔类型明确区分^[1]。

20世纪30年代，安德罗诺夫学派围绕“粗糙系统”和“结构稳定性”建立了现代分岔理论的早期框架。Andronov 与 Pontryagin 在1937年的工作把“系统在小扰动下是否保持其定性结构”变成核心问题；随后，这一研究传统又从相平面拓扑结构改变、非粗糙性和分岔集合等角度，逐步推动了对局部分岔机制的系统分类。在这一背景下，人们开始更清楚地区分不同的零特征值分岔：有的对应平衡点的产生与湮灭，有的则对应两条平衡分支在临界点相遇后继续穿越^[2]^[3]。

从术语和理论定型的角度看，跨临界分岔的历史特殊性在于：这种现象并不是一开始就以“跨临界分岔”之名被单独提出，而是在20世纪下半叶中心流形、正规形和奇点理论逐步成熟之后，才在现代教材和综述中被固定为一种独立的局部分岔类型。与鞍结点分岔相比，它的核心并不是平衡点“出现—消失”，而是两个平衡分支在临界点相交，并交换稳定性。也正因为如此，现代文献通常强调跨临界分岔往往不是最一般的一参数泛型情形，而常常依赖某种附加结构，例如平凡分支对所有参数始终存在、不变子空间、守恒约束或对称性等^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]。

因此，从历史脉络上看，跨临界分岔并不是“先有清晰命名、后有统一理论”的对象，而是先在早期定性研究中以几何现象的形式出现，再在结构稳定性与局部分岔分类的框架中逐步被识别，最终才在现代非线性动力学中被确立为一种具有明确判别特征和广泛应用背景的基本分岔类型^[6]^[7]^[8]。

2. 标准型及其性质

在数学上，我们可以通过标准型来研究分岔的本质特征。对于一维动力系统（参考一维动力学），跨临界分岔的最简微分方程形式（标准型）如下^[9]

（1）

其中 $x \in R$ 是状态变量， $r \in R$ 为诱导分岔产生的外部参数。

跨临界分岔的关键性质在于，随着系统参数 $r$ 的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终互换：稳定变不稳定，不稳定变稳定。

2.1 求解不动点

不动点意味着变化率为0，以为例，就是。

这个一元二次方程有两个解： $x * = 0$ 和 $x * = r$

2.2 不动点及其稳定性

要分析不动点的稳定性，可以通过计算不动点的一阶导数。这里就是 $f' (x *) = r - 2 x *$ 。

当 $r < 0$ 时，

不动点 $x * = 0$ ，有 $f' (x *) = r - 2 * 0 = r < 0$ ，微小扰动会衰减，是稳定不动点。
不动点 $x * = r$ ，有 $f' (x *) = r - 2 r = - r > 0$ ，微小扰动会放大，是不稳定不动点；

当 $r = 0$ ，有 $f' (x *) = 0$ ，此处为分岔点。

当 $r > 0$ 时，

不动点 $x * = 0$ ，有 $f' (x *) = r - 2 * 0 = r > 0$ ，微小扰动会放大，是不稳定不动点。
不动点 $x * = r$ ，有 $f' (x *) = r - 2 r = - r < 0$ ，微小扰动会衰减，是稳定不动点；

2.3 相图与分岔图

根据以上求解和分析，对于这个系统，可以画出相图和分岔图来直观展示参数变化对系统的影响。

相图即的图像，纵坐标为，横坐标为 $x$ ，展示了系统在参数 $r$ 取不同值时可分为三种不同的状态。

实心点为稳定不动点，空心点为不稳定不动点，半空心点为临界半稳定不动点，箭头为演化方向。

分岔图如下：分岔图是以参数 $r$ 为自变量，系统不动点 $x *$ 为因变量，能直观展示参数的取值与不动点的数量和性质的关系。

从上面的相图可以看出：当 $＜ r ＜ 0$ 时，该系统的稳定不动点一直是 $x * = 0$ ，不稳定不动点 $x * = r$ ；而当 $＞ r ＞ 0$ 时，该系统的稳定不动点是 $x * = r$ ，不稳定不动点一直是 $x * = 0$ ；据此，可以画出如下的跨临界分岔图

3. 案例：激光模型

3.1 模型描述

这里介绍哈肯在1983年研究的激光模型的简化版^[9]。哈肯是协同学的创始人，他起初从事激光研究。

如上图所示：外面是泵，里面有很多高能级的活跃的原子束，这些原子受激辐射会产生新的光子。泵两边都是镜子，用于反射光子。右边这个镜子中间有一个小孔，用来释放满足条件后可溢出的激光。

这个模型主要描述的是光子数的动力学变化。数学表述为：= $g a i n - l o s s = G n N - k n$ ，其中 $N (t) = N 0 - a n$ ，代入后就是：= $G n (N 0 - a n) - k n = (G N 0 - k) n - (a G) n 2$ 。

说明： $n$ 光子数， $N$ 高能级原子数， $G$ 增益系数， $k n$ 光子逸出或被吸收的损耗， $a n$ 受激辐射损失的高能级原子。

3.2 分岔点

对这个系统= $G n (N 0 - a n) - k n = (G N 0 - k) n - (a G) n 2$ ，开始时，光强为0（无序）。当泵中能量增加，光强从0开始增长，当阈值(即初始高能量原子数)时，泵中原子开始“觉醒”，齐步协同，才出现可溢出的频率、相位、方向都高度一致的光子数（激光），这时可以求出它的两个不动点： $（不稳定） n * = 0 （不稳定）$ 和（稳定）。据此可以画出这个系统的相图，如下：

从上面的相图可以看出：当泵中光强随着能量从0（无序）开始增长到阈值(即初始高能量原子数)时，泵中才出现可溢出的频率、相位、方向都高度一致的光子数（激光），表明它的不稳定不动点是： $n * = 0$ ，稳定不动点是，形如下面的分叉图:

3.3 物理意义

哈肯提出的“激光模型”，本质上是一种跨学科的“范式转移”：它并非具体的工程设计，而是借助激光这一物理系统，来解释“无序如何产生有序”的思维框架。

该模型表明，在外部能量驱动下（如激光器中的泵浦过程），系统内部的微观粒子（原子）会自发地由无序的随机运动转变为协同一致的集体行为，从而在宏观上涌现出一种全新的高度有序状态（激光）。换言之，它用“光”的机制揭示了自然界中普遍存在的自组织现象。

具体而言，这一过程可以理解为：在普通光（如灯泡）中，原子各自独立、随机发光，其相位与方向杂乱无章；而当外部驱动达到某一临界阈值后，系统发生质变，原子开始“协同”，发出频率、相位和方向高度一致的光，即形成激光。这一跃迁揭示了从非相干（incoherent）到相干（coherent）的本质转变。

其核心机制在于“协同”与“序参量”。原子之间并非直接相互作用，而是通过其产生的电磁场（光场）这一“中介”实现协调，这个光场即为序参量。在初始阶段，光强接近于零（无序）；随着能量输入增加，光强逐渐增长，并反过来“役使”所有原子，使其服从统一的振荡节奏（即“役使原理”）。由此形成一个从微观到宏观、再由宏观反过来支配微观的反馈闭环。

更重要的是，这一模型具有高度的普适性：激光中的“原子”可以类比为任意系统的微观单元（如神经元、细胞或个体），而“光场”则对应于宏观的集体模式（如脑电波、人群共识或市场趋势）。因此，它不仅解释了激光的产生机制，更提供了一个普适的理论框架，用以说明宏观秩序如何从微观混沌中涌现，并体现出“整体大于部分之和”的普遍规律。

总的来说，哈肯的激光模型从物理层面揭示了：协同作用如何使原本混乱的个体自发形成相干、有序的集体行为，是协同学理论最经典、最具代表性的物理基础。

4. 二维系统及以上

与一维动力系统中的跨临界分岔类似，二维及以上的跨临界分岔同样描述了一个稳定不动点和一个不稳定不动点随参数变化而互换稳定性的过程。^[9]

4.1 二维标准型

$x与y为状态变量。$
$μ为分岔参数。$
一式描述了系统在 $x$ 维度上的分岔行为。
二式描述了系统在 $y$ 维度上的收缩行为（其中 $λ > 0$ ，通常取 $λ = 1$ 来简化讨论），表明系统在非分岔方向上是稳定的。

三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有分岔行为（类似），系统在其余维度上稳定（均为类似的形式，其中参数 $λ > 0$ ）。

4.2 稳定性分析

这个二维系统

相图如下：

$x$ 方向的不动点分析与一维情况完全类似。随着参数 $μ$ 的变化，二维相平面上的拓扑结构经历以下三个阶段：

1. 双不动点共存阶段 ( $μ < 0$ )：

稳定不动点 $(0 ， 0)$ ：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个稳态。
不稳定不动点 $(μ, 0)$ ：在 $y$ 方向吸引，在 $x$ 方向排斥。

动力学特征：相空间被不稳定不动点分割，大部分轨线最终收敛于稳定不动点。

2. 临界分岔点 ( $μ = 0$ )：两个不动点在原点 $(0, 0)$ 处发生碰撞并融合。

3. 互换稳定性后的双不动点共存阶段 ( $μ > 0$ )：

不稳定不动点 $(0, 0)$ ：在 $y$ 方向吸引，在 $x$ 方向排斥。
稳定不动点 $(μ, 0)$ ：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个稳态。

动力学特征：相空间被不稳定不动点分割，大部分轨线最终收敛于稳定不动点。

5. 相关概念

从奇点理论与突变论的角度看，鞍结点分岔与折叠突变（fold catastrophe）的对应关系最为直接：二者都体现为平衡解分支在临界点附近发生折叠，并导致平衡点的产生或湮灭。突变论由 René Thom 建立，其核心思想是用奇点理论研究控制参数连续变化时系统临界点结构的类型变化^[10]。

相比之下，跨临界分岔不宜简单地与折叠突变直接等同。更准确地说，它是一类与折叠型奇点密切相关的零特征值局部分岔，但通常需要额外结构——例如平凡平衡分支对所有参数始终存在、不变子空间、守恒约束或对称性——才能稳定出现。它的典型特征不是平衡点的产生或消失，而是两条平衡分支在临界点相交，并在参数穿过临界值时交换稳定性^[11]^[12]。

这也解释了跨临界分岔为何在历史上常与鞍结点分岔相混淆：两者在线性化层面都以零特征值为信号，但若进一步考察平衡分支的几何结构，前者表现为“分支相交并交换稳定性”，后者则表现为“分支折叠并导致平衡点成对产生或湮灭”。因此，在现代分岔理论中，鞍结点分岔通常被视为更泛型的情形，而跨临界分岔则常与叉式分岔一起，被视为需要特殊结构支持的非泛型分支点分岔^[13]^[14]。

参考文献

Poincaré, H. (1885). Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation. Acta Mathematica, 7, 259–380.
Andronov, A. A.; Pontryagin, L. S. (1937). Systèmes grossiers. Doklady Akademii Nauk SSSR, 14, 247–251.
Andronov, A. A.; Leontovich, E. A.; Gordon, I. I.; Maier, A. G. (1973). Theory of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane. Jerusalem: Israel Program for Scientific Translations; New York: Wiley.
Guckenheimer, J.; Holmes, P. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York: Springer-Verlag.
Golubitsky, M.; Schaeffer, D. G. (1985). Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Volume I. New York: Springer-Verlag.
Crawford, J. D. (1991). Introduction to bifurcation theory. Reviews of Modern Physics, 63(4), 991–1037.
Arnold, V. I.; Afraimovich, V. S.; Ilyashenko, Yu. S.; Shilnikov, L. P. (1994). Dynamical Systems V: Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Berlin: Springer.
Uecker, H. (2022). Continuation and Bifurcation in Nonlinear PDEs: Algorithms, Applications, and Experiments. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 124, 43–80.
Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Reading, MA: Perseus Books.
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