导语

今天的人工智能，早已超越有限维矩阵运算，转而直面函数、分布与动态系统。

当模型开始学习“变化”、映射“函数空间”、在长期演化中保持稳定，我们便需要一套比线性代数更广阔的数学语言——泛函分析。

它的核心视角很直观：

• 函数是空间中的点

• 网络层是作用于空间的算子

• 训练则是逼近、优化或不动点迭代

借助范数、内积、对偶与谱理论，泛函分析系统性地回答：

模型能表达什么？误差如何传播？迭代是否收敛？

本次公开课时间为8月25日晚上7：30，贾伊阳老师从直观实例出发，讲清函数空间、Banach空间与Hilbert空间的核心思想，并揭示它们与核方法、神经算子、扩散模型的联系。更进一步，当研究对象从普通函数走向量子多体、复杂系统、生命过程这些高维的“不平凡"函数时，它将带你重新理解人工智能的底层逻辑。

无需泛函分析基础，只需函数、向量与矩阵知识即可参与。

泛函分析解决什么问题？

从工程、物理到机器学习，它的核心任务可以归结为两个层面：

• 寻找复杂函数，帮助我们找到描述系统的那个函数；

• 理解网络训练的本质，神经网络究竟是如何被训练成我们所需函数的。

在第一期课程里，贾伊阳老师带我们建立了泛函分析的基本认知框架：什么是函数空间，什么是希尔伯特空间，如何通过对偶空间中的“核方法”去测量函数、从而找到我们需要的原函数，以及函数测量需要满足哪些技术细节和约束条件。

顺着这些内容，我们开始理解物理与机器学习背后的数学逻辑。比如，无限宽度的神经网络在数学上等价于一个核方法，这让我们学会用一种新的数学眼光，重新看待机器学习里那些习以为常的东西。

但问题远未结束。

在实际的工程、物理与机器学习中，我们面对的数据所对应的原函数，往往具有极高维度的特性。它们可能带有拓扑结构、分形特征，或者嵌入在某个非平凡的流形中。这些函数并不“平凡”，它们来自量子多体系统、复杂系统、生命过程，乃至恒星演化。

于是我们面对一个新的困惑：即便手里已经有了泛函分析的基本工具，我们又该如何认识这些高维空间中的流形？它们长什么样？具有哪些几何属性？运算规则又是什么？

这不是量子力学课本里那几个标准数学空间，而是描述极其复杂对象的数学语言。是微分几何？还是高阶范畴？

而这些复杂的原函数，恰恰是我们在实践中真实面对的事物。如何模拟一个细胞？如何描述一个生态系统？答案，或许就藏在这些高维数学空间里。

泛函分析第二期，贾伊阳老师将从复杂性的视角出发，和大家一起认识这些复杂事物所处的高维数学空间：

• 这些复杂函数有怎样的基本描述与属性

• 在实践中，我们该如何寻找、如何拟合它们

• 前沿高维数学问题背后，有怎样的泛函分析思想与方法

如果你希望真正理解机器学习、复杂系统背后的数学结构，这一期课程或许能为你打开一扇新的门。

为什么 AI 需要泛函分析？从函数空间、算子到现代智能系统。

今天的人工智能，早已不再只是对有限维向量做矩阵计算。

机器学习模型需要处理函数、图像、时间序列、概率分布和动态系统；生成模型需要学习分布之间的变化；神经算子需要学习函数空间之间的映射；强化学习和智能体系统，则需要研究长期迭代、记忆更新与行为稳定性。

泛函分析，为这些问题提供了一种统一的数学语言。它把函数看作空间中的点，把神经网络层看作作用于空间的算子，把训练过程理解为逼近、优化或不动点迭代。借助范数、内积、对偶、谱和收敛性等工具，它帮助我们系统性地研究模型的表达能力、误差传播与稳定性。

本次公开课将从直观实例出发，介绍函数空间、Banach 空间与 Hilbert 空间的基本思想，并揭示它们与最小二乘、PCA、核方法、Neural ODE、Deep Equilibrium Model、Diffusion Model、Fourier Neural Operator、强化学习与智能体系统之间的深层联系。

课程不要求听众事先学习泛函分析，也不会涉及复杂的定理证明。只需具备基本的函数、向量和矩阵知识，即可参与。

贯穿全课的核心问题是：当 AI 的研究对象从向量扩展到函数、分布和动态系统时，我们为什么需要一种比线性代数更广阔的数学框架？

欢迎一起，从泛函的视角，重新理解人工智能的底层逻辑。

贾伊阳，东京都市大学讲师，曾任日本女子大学、成蹊大学助理教授，研究方向涵盖计算复杂性、算法及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》《面向应用的泛函分析》课程讲师。她的讲课风格细致入微、逻辑清晰，声音甜美，是集智社区中备受学员喜爱的人气讲师。