Nat. Commun. | 迈向统一的AI驱动断裂力学：扩展深度能量法

材料和结构失效的准确预测一直是工程力学中的核心问题，而裂纹萌生、扩展和分叉涉及高度局域化的应力场、位移不连续以及复杂的演化路径，使传统数值模拟面临较高计算成本。近年来，物理信息神经网络（PINNs）及其变分形式深度能量法（Deep Energy Method，DEM）为偏微分方程求解和断裂模拟提供了新的AI计算范式。然而，现有DEM通常需要在裂纹及裂尖附近布置大量加密配点，容易出现数值稳定性问题，而且离散裂纹模型与连续相场模型往往需要分别建立计算框架。

研究人员提出扩展深度能量法（Extended Deep Energy Method，XDEM），试图建立统一的AI驱动断裂力学框架。XDEM包含离散形式XDEM-D和连续形式XDEM-C：前者将裂纹导致的位移跳跃和裂尖渐近场显式嵌入神经网络，后者利用独立网络灵活表示位移场和相场，并通过惩罚或历史场机制保证裂纹演化不可逆。通过这种物理先验增强，XDEM能够使用相对稀疏且均匀分布的配点准确描述裂尖局域场，而无需针对裂纹路径进行专门的网格或配点加密。

在应力强度因子预测、交叉裂纹、直线和偏折裂纹扩展、裂纹萌生、材料夹杂以及三维断裂等基准问题中，XDEM表现出较高的准确性、稳定性和计算效率，并在多种场景下优于标准DEM。研究进一步引入低秩适应（LoRA），利用相邻载荷步之间的场信息实现参数高效迁移。整体而言，XDEM将离散断裂和连续损伤模型纳入统一的深度能量框架，为AI驱动的复杂断裂预测以及计算力学提供了新的方法基础。

断裂是材料和工程结构失效的主要机制之一。传统计算断裂力学大体可以分为两类。一类是离散断裂模型，包括虚拟裂纹闭合技术、黏聚区方法以及扩展有限元等，其优势在于计算效率较高，并能够直接描述裂纹面和裂尖行为；但这类方法通常需要显式表示裂纹，并结合特定的断裂判据确定裂纹如何继续扩展。当裂纹出现复杂分叉、相互作用或者进入三维空间后，裂纹追踪和几何处理会迅速变得困难。

另一类是连续损伤模型，以相场断裂方法为代表。它不再将裂纹视为几何意义上的尖锐界面，而是利用连续损伤变量描述裂纹，因此能够自然处理裂纹萌生、扩展、分叉和合并，不需要预先规定裂纹路径。不过，这种灵活性通常需要更精细的空间离散才能解析狭窄的损伤区域，计算成本也相应增加。

无论采用离散还是连续描述，最终都需要求解控制材料力学行为的偏微分方程。传统有限元、有限差分和无网格方法长期承担这一任务，而PINNs提供了一条不同路线：将控制方程和物理约束直接嵌入神经网络训练，使网络本身成为物理场的近似器。DEM进一步利用能量变分原理，将网络训练转化为系统总势能最小化问题，因此天然适合断裂力学这类具有明确能量泛函的问题。

但已有DEM仍面临两个关键问题。首先，裂尖附近存在高度局域化甚至具有奇异性的应力和位移梯度，普通神经网络很难利用均匀采样准确表示，因此通常需要预先知道裂纹位置并在裂纹附近增加大量配点。其次，离散裂纹和连续相场各有优势，却长期被作为两个独立体系处理：前者更适合路径相对简单且强调计算效率的问题，后者更适合复杂裂纹网络和三维断裂。研究人员因此希望构建一个统一框架，在保留两类模型优势的同时，将已知的断裂力学物理规律直接注入神经网络。

研究人员建立XDEM统一框架，并分别构建离散裂纹形式XDEM-D和连续损伤形式XDEM-C。在XDEM-D中，研究人员借鉴扩展有限元思想，引入裂纹函数（crack function），将裂纹两侧的位移不连续性作为额外信息输入神经网络；同时利用裂尖Williams渐近展开构建扩展函数（extended function），显式补充普通神经网络难以学习的裂尖奇异场，从而降低对裂尖局部配点加密的依赖。对于路径相对简单的裂纹问题，裂纹按照预定义断裂准则逐载荷步扩展。在XDEM-C中，裂纹由连续相场变量表示，位移场和相场分别由独立神经网络逼近，从而使两类物理场可以采用不同网络架构；研究人员推荐使用KAN表示变化剧烈的位移场，而以RBF网络表示相场，并通过历史场或惩罚机制防止裂纹“愈合”。两种形式最终都通过能量最小化训练网络，并可以结合Monte Carlo或Gauss积分。针对裂纹逐载荷步演化带来的重复训练成本，研究人员进一步采用LoRA进行参数高效迁移，仅更新少量低秩参数，使前一载荷状态学习到的力学场信息能够用于后续计算。

XDEM最核心的设计并不是简单用一个更大的神经网络替代DEM，而是将断裂力学中已知但普通网络难以自行学习的物理结构直接加入函数空间。对于离散裂纹，网络需要解决两个最困难的问题：裂纹面上的位移是不连续的，而裂尖附近又存在高度局域化的渐近场。研究人员分别使用裂纹函数和扩展函数处理这两个问题。

裂纹函数显式告诉神经网络裂纹界面的存在，使同一个网络能够自然产生裂纹两侧不同的位移响应；扩展函数则把裂尖渐近解嵌入网络，使模型不必完全依靠数据点重新学习裂尖奇异结构。这样，XDEM可以在整个计算区域采用较均匀的配点，而不必像传统DEM那样在裂尖周围进行专门加密。

连续形式则采取不同策略。相场模型不显式追踪裂纹，而是通过连续损伤场描述裂纹，因此能够自然处理裂纹萌生和复杂拓扑变化。XDEM允许位移和相场使用不同神经网络，使网络结构可以针对不同物理场进行选择。由此，离散和连续断裂虽然具有不同物理表示，却被纳入同一套基于能量泛函、神经网络近似和数值积分的计算体系。

图1｜扩展深度能量法XDEM的整体框架。XDEM在统一深度能量体系中整合离散裂纹模型和连续相场损伤模型，并结合裂纹函数、扩展函数、数值积分及LoRA迁移学习实现逐载荷步断裂模拟。

应力强度因子（SIF）表征裂尖附近应力场强度，是线弹性断裂力学中判断裂纹扩展的重要物理量。研究人员首先利用I型张开、II型滑移、III型撕裂以及混合模式问题验证XDEM能否准确重建裂尖场，其中正文重点展示倾斜中心裂纹的混合模式结果。

研究改变裂纹倾角，并比较XDEM预测的I型和II型应力强度因子与有限元参考结果。结果显示，在15°、30°、45°、60°和75°等不同倾角下，两种应力强度因子的预测均与有限元结果高度一致。例如采用80×80配点时，不同倾角下I型应力强度因子的相对误差约为0.28%–0.85%，说明XDEM能够准确解析裂尖高度局域化的力学场。

更重要的是，这种精度并不完全依赖高密度采样。配点敏感性分析显示，对于多数裂纹角度，30×30的中等分辨率已经能够获得较高精度；随着配点密度增加，预测进一步收敛。相比传统DEM必须重点增加裂尖附近采样，XDEM可以使用均匀分布的配点。其位移和应力云图还清晰呈现裂纹两侧预期的位移跳跃，证明裂纹函数确实成功将不连续性嵌入神经网络。

不过，配点也不能无限减少。当采样密度过低时，数值积分误差可能导致虚假的应力场甚至非物理裂纹模式，需要通过适当增加配点或提前停止训练加以缓解。这说明XDEM降低的是对裂尖局部加密的依赖，而不是彻底消除数值积分分辨率要求。

图2｜混合模式裂纹问题中XDEM预测的I型和II型应力强度因子，以及不同裂纹倾角下的位移场和应力场分布。

单裂纹只是断裂力学最基本的情况。当体系包含多条相互交叉的裂纹时，不同裂纹面之间产生复杂的位移不连续，普通神经网络更难准确表示。

研究人员因此进一步构建交叉裂纹问题，在不同裂纹夹角条件下比较XDEM和有限元预测。结果显示，XDEM得到的水平和垂直位移场与有限元参考结果高度一致，并能够沿多条裂纹界面同时形成清晰的位移跳跃。误差图进一步显示，大部分计算区域保持较低偏差。

这一实验的重要意义在于，XDEM不需要针对每一条裂纹重新设计局部网格或进行自适应加密，而是依靠裂纹函数把几何不连续信息直接传递给神经网络。因此，即使裂纹拓扑变得复杂，模型仍然能够利用统一的网络形式描述多个裂纹界面。研究人员认为，这体现了XDEM在复杂裂纹拓扑条件下相对于传统DEM的鲁棒性。

图3｜不同交叉角度下XDEM与有限元方法预测的交叉裂纹位移场及其误差比较。

在能够准确描述裂尖场之后，更重要的问题是网络能否进一步预测裂纹如何扩展。研究人员首先使用经典Bittencourt断裂问题进行验证。该体系中，初始裂纹附近存在孔洞，不同几何条件会使裂纹发生不同方向的偏折，因此是评价裂纹路径预测能力的经典基准。

XDEM预测裂纹在归一化位移约0.4时开始扩展，与已有实验和数值结果一致。随后产生的裂纹轨迹能够准确再现实验中观察到的偏折行为：在有孔和无孔两种情形下，裂纹分别沿不同方向演化，并最终形成与实验结果相近的路径。

位移和应力分布进一步显示，XDEM不仅给出了正确的几何裂纹路径，还能够同时解析裂纹扩展过程中的位移不连续和裂尖应力集中。这一点十分关键，因为准确的裂纹轨迹不能仅依赖几何拟合，而必须建立在合理的局部力学场基础之上。

从方法角度看，该结果说明显式加入裂纹物理先验并没有把模型限制在固定裂纹上。随着载荷逐步增加，裂纹函数和裂尖增强表示能够随裂纹位置更新，从而持续描述不断演化的断裂过程。

图4｜Bittencourt基准问题中XDEM预测的裂纹扩展路径与实验结果比较，以及有孔和无孔条件下的位移与应力场。

实际工程材料往往并非均匀介质。裂纹遇到不同刚度的夹杂时，会由于局部力学性质变化而发生偏折、绕行或产生复杂应力重分布。因此，研究人员进一步测试包含圆形夹杂的非均匀材料体系，并分别设置软夹杂和硬夹杂。

结果显示，XDEM在两种材料条件下预测的裂纹传播轨迹均与参考结果高度一致。当裂纹接近夹杂区域时，模型能够正确反映不同刚度对裂纹方向的影响，而不是简单延续原始传播方向。与此同时，XDEM预测的载荷—位移曲线与已有结果吻合良好。

位移和应力云图显示，模型不仅捕获了裂尖附近的应力集中，还能够解析材料界面处因弹性性质突变产生的应力不连续。这意味着XDEM的物理增强表示并不局限于均匀材料中的理想裂纹，而可以扩展到具有明显材料异质性的断裂场景。

结合正文及补充验证，研究人员还将XDEM应用于直线和偏折裂纹、裂纹萌生、分叉以及三维裂纹传播等问题。总体结果表明，XDEM能够同时处理局部裂尖场和全局复杂裂纹轨迹，在准确性和效率方面达到传统数值方法的水平，并在多种情况下优于标准DEM。

图5｜软夹杂和硬夹杂条件下XDEM预测的裂纹传播路径、载荷—位移响应以及位移和应力场。

这项工作的核心价值并不只是提高某一个断裂基准的预测精度，而是尝试解决AI断裂力学长期存在的模型碎片化问题。传统计算断裂力学中，离散裂纹与连续损伤代表两种不同思想：离散方法直接描述尖锐裂纹界面，效率较高但需要裂纹追踪；相场方法则将裂纹扩散为连续损伤区域，能够自然处理萌生、分叉和复杂裂纹网络，但计算成本通常更高。此前基于DEM的AI方法基本延续了这种分离状态。

XDEM将两种形式放入统一的深度能量框架中，但并没有强行使用完全相同的网络表示。对于简单、明确的裂纹传播问题，研究人员推荐采用离散XDEM，通过裂纹函数和裂尖扩展函数显式注入物理知识；对于复杂裂纹萌生、分叉和拓扑变化问题，则推荐连续XDEM，通过相场自动描述裂纹演化。 因此，这里的“统一”更准确地说是统一的变分AI计算框架下保留不同断裂表示，而不是用一种模型完全取代另一种模型。

XDEM的另一个关键思想是物理先验与神经网络表达能力之间的结合。普通神经网络原则上可以逼近复杂函数，但裂纹面不连续和裂尖奇异场对于标准平滑网络而言非常难学。如果完全依赖训练过程自行发现这些特征，就必须在困难区域布置大量配点。XDEM采取了类似扩展有限元的思想：既然断裂力学已经知道解具有怎样的数学结构，就没有必要让神经网络从头学习，而是将这种结构直接加入假设空间。

这也解释了为什么XDEM能够使用相对稀疏、均匀分布的配点。它并不是单纯依靠“更强AI”获得性能，而是通过物理知识缩小神经网络需要搜索的函数空间。这一思想对于科学机器学习具有更普遍的意义：面对具有奇异性、不连续性或明确渐近规律的物理问题，将已知结构编码进模型往往比单纯扩大网络规模更加有效。

XDEM还利用LoRA解决逐载荷步重复训练的问题。断裂过程具有明显路径依赖性，因此加载必须分为多个增量，网络在每个载荷步都需要更新。然而，相邻载荷状态的位移场和损伤场通常高度相关。从头重新训练会浪费大量已经学习到的信息。LoRA只调整少量低秩参数，使前一个状态的网络能够高效迁移到后续载荷状态，从而为长时间裂纹演化模拟提供参数高效的迁移策略。

不过，研究也暴露出当前物理信息AI方法的一个基础瓶颈：神经网络表达能力并不能替代准确的数值积分。当配点过少时，即使网络能够表示正确解，能量泛函本身的积分误差仍可能诱导非物理应力或裂纹模式。在加载后期，这种数值误差同样可能影响迁移后的模型稳定性。研究人员明确指出，这一问题主要来自数值积分精度，而不是LoRA本身。 因此，XDEM虽然显著降低了裂纹附近局部加密需求，却并没有完全摆脱传统计算力学中的离散化和积分精度问题。

此外，XDEM-D仍然需要预定义裂纹扩展准则，因此更适合裂纹数量和拓扑相对明确的问题；对于未知位置的裂纹萌生、复杂分叉和三维裂纹网络，连续相场形式仍然更加自然。这也说明统一框架并不意味着不存在问题相关的模型选择。

未来，研究人员提出将XDEM进一步扩展到动态断裂、多物理场耦合以及神经算子等方向。例如热—力耦合、流体驱动裂纹以及高速动态断裂都会引入更加复杂的时空尺度；如果进一步结合神经算子的跨参数泛化能力，则有望从当前“针对一个断裂问题优化一个网络”，逐渐转向能够在不同几何、材料和边界条件之间快速泛化的AI力学求解器。

总体而言，XDEM展示了一条具有代表性的AI计算力学路线：它并非利用数据驱动模型替代断裂力学，而是将能量变分原理、裂纹不连续性、裂尖渐近解、相场损伤、神经网络和迁移学习组合到统一计算体系中。其意义在于把AI从传统意义上的结果拟合工具进一步转变为具有明确物理约束的数值求解器。对于复杂材料失效预测而言，这种“物理结构负责约束，神经网络负责逼近，迁移学习负责加速”的组合方式，为构建更加通用的AI驱动计算力学框架提供了重要方向。

Wang, Y., Lin, Y., Goswami, S. et al. Towards unified AI-driven fracture mechanics: the extended deep energy method (XDEM). Nat Commun 17, 8492 (2026). 

https://doi.org/10.1038/s41467-026-76748-1