报告简介

1. AI 辅助发现数学规律：通过梯度显著性分析提取关键特征，引导数学家定义“自然斜率”，连接扭结几何与代数不变量。
2. AI 攻克 IMO 难题：将定理证明转化为马尔可夫决策过程，自动形式化为 Lean 代码，AlphaProof 与 AlphaGeometry2 在 2024 IMO 达到银牌水平。
3. AI 攻克组合数学难题：Aletheia 基于 Gemini 实现端到端问题求解；OpenAI 推理模型构造 Erdős 平面单位距离猜想的反例，成果获顶尖数学家验证。
4. AI 迈向自主研究：Moonshine 智能体探索“提出问题—解决问题—自主验证”闭环，提出 Neural Jacobian Conjecture，并在特定条件下独立生成完整证明。

分享大纲

1. 引言与总览

• 报告主题：AI for math 的最新进展与未来展望。
• 四条主线：AI 辅助发现数学规律、AI 攻克 IMO 难题、AI 攻克组合数学难题、AI 迈向自主研究。

2. 背景知识：人工智能与大模型

• 人工智能定义与 1956 年达特茅斯会议。
• 主要流派：符号主义（基于规则）、连接主义（基于数据）。
• 判别式人工智能与生成式人工智能。
• 机器学习基本原理：
• 三要素：数据、算法、模型。
• 基本思想：构造从输入空间到输出空间的“最佳”映射。
• 训练步骤：训练数据、训练目标、训练算法。
• 神经网络：
• 多层神经网络：输入层、隐含层、输出层。
• 卷积神经网络：适合图像相关问题。
• 循环神经网络：适合视频、语音、文本等时序问题。
• 大模型：
• 大模型是具有很大参数的神经网络，如 GPT-3 具有 1750 亿参数。
• 训练流程：预训练、监督微调、人类反馈的强化学习。

3. AI 辅助发现数学规律

• 问题背景：扭结的几何不变量（如双曲体积）与代数不变量（如符号差）之间的深层联系难以用传统方法捕捉。
• 方法：
• 梯度显著性分析提取 Cusp 几何中经向与纵向平移的关键特征。
• 引导数学家定义“自然斜率”这一新几何量。
• 自然斜率成为连接几何与代数不变量的理论桥梁，为严格不等式定理提供核心构造基础。

4. AI 攻克 IMO 难题

• 问题建模：将 IMO 定理证明转化为马尔可夫决策过程，每一步推理视为状态转移，目标为达成形式化证明终点。
• 自动形式化：将百万级自然语言题目转化为 Lean 代码，打通语义理解与形式验证的鸿沟。
• 成果：
• AlphaGeometry2 专攻几何，结合符号引擎与神经网络，自动添加辅助线并验证。
• 2024 年 IMO 综合达到银牌水平，首次实现 AI 奖牌级表现。

5. AI 攻克组合数学难题

• Aletheia 智能体：
• 基于 Gemini 大模型，集成文献检索、逻辑推理，实现端到端数学问题求解闭环。
• 在 Erdős 问题数据库中自主完成多个开放猜想的严格证明，结果经人类专家确认为新颖且正确。
• 通过跨文献关联分析，发现多个已被解决但分散未记录的猜想。
• OpenAI 平面单位距离猜想反例：
• Erdős 平面单位距离猜想近 80 年未解。
• OpenAI 内部通用推理模型独立执行反例构造，成功推翻原猜想。
• 顶尖数学家确认其正确性，菲尔兹奖得主认可其贡献，标志 AI 具备独立研究能力。
• 成果达到顶刊发表标准。

6. AI 迈向自主研究

• 时间线：
• 2026.5：平面单位距离猜想被证伪；
• 2026.7：雅可比猜想被证伪；
• 2026.8：六维球面存在复结构；
• 2026.9：NS 方程存在爆破解。
• 同济 deepmath 团队 Moonshine 智能体：
• 探索 AI 自主生成原创性研究问题的能力。
• 构建“提出问题—解决问题—自主验证”闭环。
• 提出 Neural Jacobian Conjecture。
• 具体结果：
• 考虑单隐藏层 Affine-ridge Sigmoid 网络，若在整个空间上具有严格正的雅可比行列式，则它必定是全局单射的。
• 在 N = n + 1（N 为隐藏层神经元数量，n 为输入维度）下，AI 独立生成完整证明。
• 若 N ≥ n + 2，尚未解决？

7. 总结与讨论

• 数学研究的工业化时代即将来临。
• 人类的创造性思维将成为核心竞争力？

核心概念

1. 人工智能基础

• 人工智能、达特茅斯会议、符号主义、连接主义。
• 判别式人工智能、生成式人工智能。
• 机器学习、数据、算法、模型、训练、预测。
• 多层神经网络、卷积神经网络、循环神经网络。
• 大模型、GPT-3、1750 亿参数。
• 预训练、监督微调、人类反馈的强化学习。

2. 数学形式化与自动证明

• 马尔可夫决策过程、状态转移、形式化证明。
• Lean 代码、自动形式化、语义理解、形式验证。
• 机器可验算、可信闭环、多步骤闭环。
• AlphaProof、AlphaGeometry2、IMO、银牌水平。

3. 组合数学与开放问题

• Aletheia、Gemini、文献检索、逻辑推理、端到端闭环。
• Erdős 问题数据库、开放猜想、跨文献关联分析。
• Erdős 平面单位距离猜想、反例构造、顶刊发表标准。
• 菲尔兹奖得主认可、独立研究能力。

4. 自主研究与新范式

• Moonshine 智能体、问题自主生成、自主解决、自主验证。
• Neural Jacobian Conjecture。
• Affine-ridge Sigmoid 网络、严格正雅可比行列式、全局单射。
• 雅可比猜想、NS 方程、爆破解、六位/六维球面复结构。
• 数学研究工业化、人类创造性思维。

5. 数学背景概念

• 扭结、几何不变量、代数不变量、双曲体积、符号差。
• Cusp 几何、经向与纵向平移、梯度显著性分析。
• 自然斜率、不等式定理、理论桥梁。

主讲人介绍

参考文献

1. Davies A, Veličković P, Buesing L, et al. Advancing mathematics by guiding human intuition with AI. Nature, 2021, 600(7887): 70–74.
2. Hubert T, Mehta R, Sartran L, et al. Olympiad-level formal mathematical reasoning with reinforcement learning. Nature, 2025. DOI: 10.1038/s41586-025-09833-y. 
3. Feng T, Trinh T, Bingham G, et al. Semi-Autonomous Mathematics Discovery with Gemini: A Case Study on the Erdős Problems. arXiv:2601.22401, 2026. 
4. OpenAI Model disproves discrete geometry conjecture. OpenAI Official Blog, 2026-05.
5. Chen X, Jiang X. Moonshine: An Autonomous Mathematical Research Agent Centered on Conjecture Generation. arXiv:2606.10806, 2026.
6. Alpöge L, Claude. The (3, 4, ∞) modular family of 2-tori, completed at its three special points, is a complex structure on S⁶. Preprint, 2026.
7. Buckmaster T, Alpöge L, et al. Finite-time blow-up for the forced Navier–Stokes equations. arXiv preprint, 2026.

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