Koopman operators with intrinsic observables in rigged reproducing kernel Hilbert spaces

本文提出了一种估计定义在再生核希尔伯特空间（RKHS）上的Koopman算子及其谱的新方法。我们提出了一种估计方法，称为Jet Dynamic Mode Decomposition（JetDMD），利用RKHS的内在结构和几何概念（称为jet）来增强Koopman算子的估计。这种方法提高了传统的扩展动态模态分解（EDMD）的精度，特别是在数值估计特征值方面。本文通过显式误差界和收敛速率证明了JetDMD的优越性，为其性能提供了坚实的理论基础。我们还深入探讨了Koopman算子的谱分析，提出了扩展Koopman算子的概念，在装配希尔伯特空间的框架内。这个概念可以更深入地理解估计的Koopman特征函数，并将它们捕捉到原始函数空间之外。通过装配希尔伯特空间的理论，我们的研究提供了一种有原则的方法来分析Koopman算子的估计谱和特征函数，并在装配RKHS内进行特征分解。我们还提出了一种新的有效方法，用于从动力系统的时间采样轨迹数据重建动力系统，并提供了坚实的理论保证。我们使用van der Pol振荡器、Duffing振荡器、H\'enon映射和Lorenz吸引子进行了几个数值模拟，并通过清晰的数值计算特征值和准确的动力系统预测展示了JetDMD的性能。

本文旨在提出一种估计基于再生核希尔伯特空间（RKHS）的Koopman算子及其谱的新方法。

JetDMD方法利用RKHS的内在结构和称为jet的几何概念来提高Koopman算子的估计精度，特别是在数值估计特征值方面。此外，本文提出了扩展Koopman算子的概念，通过装配希尔伯特空间的框架，使得可以在原始函数空间之外捕捉到估计的Koopman特征函数，并在装配RKHS内进行特征分解。

本文提出的JetDMD方法在特征值的数值计算方面具有优越性，提供了明确的误差界和收敛速率。此外，本文还提出了一种新的有效方法，可以从动力系统的时间采样轨迹数据中重构动力系统，并提供了可靠的理论保证。本文使用van der Pol振荡器、Duffing振荡器、H\'enon映射和Lorenz吸引子进行了多个数值模拟，并展示了JetDMD方法的性能。

在这个领域中，最近的相关研究包括：Dynamic Mode Decomposition、Extended Dynamic Mode Decomposition、Koopman算子的估计和谱分析等。