A Hybrid Kernel-Free Boundary Integral Method with Operator Learning for Solving Parametric Partial Differential Equations In Complex Domains

Kernel-Free Boundary Integral (KFBI)方法提供了一种边界积分方程的迭代解法，用于解决椭圆型偏微分方程（PDEs）引起的边界积分方程。该方法有效地解决了不规则域上的椭圆型PDEs，包括修正的Helmholtz方程、Stokes方程和弹性方程。神经网络和深度学习的快速发展推动了数值PDEs的探索。越来越多的人对深度学习方法感兴趣，这些方法可以无缝地整合数学原理来研究数值PDEs。我们提出了一种混合KFBI方法，将KFBI方法的基本原理与深度学习的能力相结合。在边界积分方法的框架内，该方法设计了一个网络，通过将PDEs的参数、非齐次项和边界信息映射到边界密度函数来逼近相应的积分方程的解算子，这可以被视为积分方程的解。该模型使用Cartesian网格KFBI算法生成的数据进行训练，具有强大的泛化能力。它可以准确地预测同一类方程中不同边界条件和参数下的密度函数。实验结果表明，训练模型可以直接推断出边界密度函数，并且精度令人满意，无需迭代求解边界积分方程。此外，将模型的推断结果作为迭代的初始值也是合理的；这种方法可以保留KFBI方法固有的二阶精度，同时通过减少约50%的迭代次数来加速传统的KFBI方法。

本论文旨在探索深度学习与边界积分方法相结合的方式，解决椭圆型偏微分方程在不规则域上的求解问题。

论文提出了一种混合型KFBI方法，将深度学习模型用于逼近边界积分方程的解算符，通过将PDE的参数、非齐次项和边界信息映射到边界密度函数，从而在边界积分方法的框架下，实现对PDE的求解。

论文提出的方法能够精确地预测不同边界条件和参数下的密度函数，并且具有较强的泛化能力。实验结果表明，该方法可以直接推断出边界密度函数，无需迭代求解边界积分方程，同时也可以将模型推断结果作为迭代的初始值，从而加速KFBI方法约50%的迭代次数。

近年来，越来越多的研究者开始探索深度学习在数值PDE求解中的应用，如基于神经网络的有限元方法、边界元方法等。