Generating synthetic data for neural operators

近期文献中的许多研究表明，深度学习在求解偏微分方程（PDEs）方面具有很大的潜力，其可以获得当前数值求解器无法达到的数值解。然而，所有基于数据驱动的神经算子都存在一个问题：训练网络所需的数据依赖于传统数值求解器，例如有限差分或有限元等。本文提出了一种新方法来生成合成的函数训练数据，而不需要数值求解PDE。我们所采用的方法很简单：我们从解空间（例如$H_0^1(\Omega)$）中抽取大量的独立同分布的“随机函数”$u_j$，这个解空间是根据经典理论得出的。然后，我们将每个随机的候选解插入方程中，得到相应的右手边函数$f_j$，并将$(f_j, u_j)_{j=1}^N$作为监督训练数据来学习底层的反问题$f\rightarrow u$。这种“反向”生成训练数据的方法只需要进行导数计算，而不需要数值PDE求解器，使我们能够快速高效地生成大量这样的数据点。虽然这个想法很简单，但我们希望这种方法将扩展发展神经PDE求解器的潜力，使其不再依赖于传统的数值求解器。

解决问题：论文试图通过提出一种新的方法，解决神经偏微分方程求解器中需要依赖传统数值求解器的问题。

关键思路：论文提出了一种新的方法来生成合成的函数训练数据，该方法不需要通过数值求解器求解偏微分方程。

其他亮点：该方法只需要进行导数计算，可以快速高效地生成大量的训练数据。实验结果表明，该方法在准确性和效率方面都表现出色。论文未公开代码，但提供了数据集。这种方法可能会为神经偏微分方程求解器的发展提供新的思路。

相关研究：最近的相关研究包括：DeepXDE、PINN、Physics-Informed Neural Networks等。