Weak Collocation Regression for Inferring Stochastic Dynamics with Lévy Noise

随着随机系统的观测、实验和模拟数据的快速增加，人们致力于识别支配这些系统演化的规律。尽管非高斯波动在许多物理现象中都有广泛应用，但基于数据的提取具有Lévy噪声的随机动力学方法相对较少。本文提出了一种弱插值回归（WCR）方法，从离散聚合数据中明确揭示未知的随机动力系统，即带有$\alpha$-稳定Lévy噪声和高斯噪声的随机微分方程（SDE）。该方法利用了概率分布函数的演化方程，即Fokker-Planck（FP）方程。通过FP方程的弱形式，WCR构建了一个未知参数的线性系统，其中所有积分都是通过蒙特卡罗方法与观测值进行评估的。然后，通过稀疏线性回归获得未知参数。对于带有Lévy噪声的SDE，相应的FP方程是一个包含非局部项的偏积分微分方程（PIDE），难以处理。弱形式可以避免复杂的多重积分。我们的方法可以同时区分混合噪声类型，即使在多维问题中也是如此。数值实验证明了我们的方法的准确性和计算效率。

提出一种基于离散数据的弱插值回归方法，用于从数据中推断同时包含alpha稳定Lévy噪声和高斯噪声的随机微分方程（SDE）的随机动力学系统。

通过福克-普朗克（FP）方程的弱形式，构建一个未知参数的线性系统，其中所有积分都由蒙特卡罗方法与观察值一起评估，然后通过稀疏线性回归获得未知参数。

该方法可以同时区分混合噪声类型，甚至在多维问题中也适用。数值实验表明该方法准确且计算效率高。

最近的相关研究比较少，但是在数据驱动的SDE推断领域中，还有一些基于贝叶斯方法和机器学习方法的研究，例如“Bayesian inference of stochastic differential equations driven by alpha-stable Levy processes”和“Data-driven discovery of stochastic differential equations with hierarchical structure”。