On the Relation between Rectified Flows and Optimal Transport

本文研究了校正流（rectified flows）、流匹配（flow matching）和最优传输（optimal transport）之间的联系。流匹配是一种近期提出的方法，通过估计速度场来学习生成模型，这些速度场指导从源分布到目标分布的转换过程。校正流匹配的目标是拉直所学到的传输路径，从而实现分布之间的更直接流动。我们的第一个贡献是一组关于校正流及其显式速度场的不变性性质。此外，我们还在高斯分布（不一定独立）和高斯混合模型的设置下提供了显式的构造与分析，并探讨了其与最优传输的关系。 我们的第二个贡献针对最近的一项主张：当对校正流施加约束，使其学习到的速度场为梯度场时，可以（渐近地）得到最优传输问题的解。我们研究了该问题解的存在性，并证明这些解仅在显著强于以往公认假设的情况下才与最优传输相关。特别地，我们给出了多个反例，推翻了文献中早先的等价性结果，并论证了在一般情况下，对校正流施加梯度约束并不是一种可靠的计算最优传输映射的方法。

该论文探讨了如何通过直化流（rectified flows）和梯度约束来解决最优传输问题，并验证了直化流是否可以作为生成模型中从源分布到目标分布的高效学习方法。这是一个相对较新的研究方向，特别是在结合直化流与最优传输的研究上。

论文的关键思路是引入直化流的概念以优化从源分布到目标分布的路径，并分析其与最优传输的关系。作者进一步研究了当速度场被限制为梯度场时，直化流是否能够逼近最优传输解。相比现有研究，这篇论文更深入地揭示了梯度约束下的直化流与最优传输之间的复杂关系，并指出之前的等价性假设存在缺陷。

论文提供了直化流的不变性特性及其在高斯分布和混合高斯分布中的显式构造；通过反例证明了之前文献中关于直化流与最优传输等价性的错误结论；强调了梯度约束下直化流与最优传输解之间的严格条件要求。此外，虽然没有提及具体实验数据集或开源代码，但对理论分析的深度贡献为未来的研究指明了方向，例如探索更宽松条件下的最优传输解法。

相关研究包括：1) 最优传输的经典理论，如Monge和Kantorovich问题；2) 流匹配（flow matching）作为生成模型的学习方法；3) 梯度流（gradient flow）在分布变换中的应用；4) 近期研究如《On the Convergence of Gradient Flow to Optimal Transport Maps》和《Gradient Flows for Sampling and Optimization in High Dimensions》。这些工作共同构成了直化流与最优传输研究的基础背景。