VW-PINNs: A volume weighting method for PDE residuals in physics-informed neural networks

物理信息神经网络（PINNs）在解决涉及偏微分方程（PDEs）的正向和反向问题方面表现出了显著的前景。该方法通过在一系列配点处计算PDE损失来将PDE嵌入神经网络中，提供了无网格和更方便的自适应采样等优点。然而，当使用非均匀配点解决PDE时，PINNs仍然面临着PDE残差收敛不足甚至失败的挑战。在本文中，我们首先分析了在非均匀配点下PDE损失的病态。为了解决这个问题，我们定义了体积加权残差，并提出了体积加权物理信息神经网络（VW-PINNs）。通过将PDE残差按配点在计算域内占据的体积加权，我们显式地嵌入了配点的空间分布特征在残差评估中。保证了涉及非均匀配点的问题的PDE残差的快速和充分收敛。考虑到VW-PINNs的无网格特性，我们还开发了一种基于核密度估计的体积近似算法来计算配点的体积。我们通过解决涉及圆柱流和NACA0012翼型流的正向问题来验证VW-PINNs的普适性，在不同的入流条件下，传统的PINNs失败了。通过解决Burgers'方程，我们验证了VW-PINNs可以将现有的自适应采样方法的效率提高3倍，并且可以将传统PINNs在解决反向问题时的相对误差降低一个数量级以上。

论文旨在解决使用非均匀采样点时，物理信息神经网络（PINNs）中PDE损失收敛效率低或失败的问题。

通过在计算域中的采样点所占据的体积加权来定义体积加权残差，并提出了基于体积加权残差的物理信息神经网络（VW-PINNs），以解决非均匀采样点的问题。

论文开发了一种基于核密度估计的体积估计算法，用于计算采样点的体积；通过解决圆柱流和NACA0012翼型流等问题，论文证明了VW-PINNs的普适性；通过解决Burgers方程，论文证明了VW-PINNs可以将现有的自适应采样方法的效率提高3倍，并且可以将传统PINNs在求解反问题时的相对误差降低一个数量级。

PINNs在解决PDE问题方面已经有很多研究，如使用不同的损失函数或采样点策略等。近期的相关研究包括：《Neural Ordinary Differential Equations with Nonuniform Time Steps》、《Deep Learning for Universal Linear Embeddings of Nonlinear Dynamics》等。