Fisher-Rao Gradient Flow: Geodesic Convexity and Functional Inequalities

本文旨在借鉴使用泛函不等式的技术，针对能够用Wasserstein度量下的能量泛函梯度流表示的动态，以及相应的收敛性分析，推广到能够用Fisher-Rao度量下的$f$-散度作为能量泛函的梯度流动态。这种动态采用非局部微分方程的形式，现有的分析严重依赖于特殊情况下的显式解决方案。本文在最小假设条件下对Fisher-Rao梯度流动态的泛函不等式和相关的测地凸性进行了全面研究。所得到的泛函不等式的一个显著特点是，它们不依赖于目标分布的对数凹性或对数Sobolev常数。因此，假设动态是良好定义的，动态的收敛速度是统一的，适用于贝叶斯推断中的后验采样应用，这使得它们成为潜在的理想动态。

本论文旨在探讨使用f-散度作为能量函数的Fisher-Rao梯度流的函数不等式和相关几何特性，以实现贝叶斯推断中的后验采样。

本文提出了一种新的方法来研究Fisher-Rao梯度流的函数不等式和相关几何特性，使得它们可以应用于任何目标分布，从而实现更高效的后验采样。

本文提出的方法不依赖于目标分布的对数凸性或对数Sobolev常数，因此可以在一般的目标分布中实现更高效的后验采样。本文还提供了实验结果，并且开源了相关代码。

在这个领域中，最近的相关研究包括“Gradient Flows and Geometric Inequalities for Wasserstein Spaces”和“Logarithmic Sobolev Inequalities and Fisher Information: New Bounds and Challenges”。