Spectral Initialization for High-Dimensional Phase Retrieval with Biased Spatial Directions

我们探讨了一种谱初始化方法，该方法在非凸场景下的信号估计研究中起着核心作用。在一个无噪声的相位恢复框架中，我们精确地分析了该方法在高维极限下的性能，当感知向量遵循两个旋转不变的协方差矩阵C模型的多元高斯分布时。在第一个模型中，C是一个低维空间的投影器，而在第二个模型中，它是一个Wishart矩阵。我们的分析结果扩展了当C是单位矩阵时已经得到确认的情况。我们的研究表明，引入有偏空间方向可以显著提高谱方法的效果，特别是当测量次数少于信号维度时。这个扩展也一致地揭示了一个依赖于样本大小和信号维度比值的相位转换现象。令人惊讶的是，这两个模型共享相同的阈值。

本文旨在探讨信号估计中的光谱初始化方法在非凸场景下的性能问题。具体而言，研究了当感知向量遵循多元高斯分布时，两种旋转不变协方差矩阵模型下该方法在高维极限下的性能表现。

本文提出了引入偏置空间方向以提高光谱方法效果的思路，并在样本量和信号维度之比上揭示了相变现象。这一扩展结果拓展了以往仅考虑协方差矩阵为单位矩阵的研究，具有一定的新意。

本文的实验结果显示，引入偏置空间方向确实能够显著提高光谱方法的效果，特别是当测量次数少于信号维度时。此外，两个研究模型的阈值相同，这也是一个值得关注的发现。实验使用了两个旋转不变协方差矩阵模型，并在高维极限下进行了分析。

在此领域的相关研究中，近期的一些论文包括《Non-convex Low-rank Matrix Recovery: Optimal Sample Complexity and Sub-optimality of Spectral Algorithms》、《Phase Retrieval with Flexible Signals: Exact Recovery Bounds and Recovery Algorithms》等。