Convolutional neural network based reduced order modeling for multiscale problems

本文将卷积神经网络（CNN）与降阶建模（ROM）相结合，用于高效模拟多尺度问题。这些问题由具有高维随机输入的偏微分方程建模。所提出的方法涉及两个独立的CNN：基础CNN和系数CNN（Coef CNN），它们对应于ROM的两个主要部分。该方法称为基于CNN的ROM。前者从精细尺度解的快照中学习特定于输入的基础函数。在输出层使用受Galerkin投影启发的激活函数，以从基础函数重建精细尺度解。数值结果表明，由基础CNN学习的基础函数类似于数据，有助于显着减少基础函数的数量。此外，基于CNN的ROM对数值误差引起的数据波动不太敏感，比传统ROM更具优势。由于基础CNN的测试仍需要精细尺度的刚度矩阵和载荷向量，因此无法直接应用于非线性问题。系数CNN可应用于非线性问题，并设计用于确定基础函数的线性组合系数。此外，本文还介绍了基于CNN的ROM的两个应用，包括在过采样区域内预测MsFEM基础函数和构建逆问题的准确代理模型。

本文旨在通过结合卷积神经网络（CNN）和降阶建模（ROM）来高效模拟多尺度问题。这些问题由具有高维随机输入的偏微分方程建模。

本文提出了一种基于CNN的ROM方法，该方法涉及两个独立的CNN：基础CNN和系数CNN。前者从精细尺度解的快照中学习输入特定的基础函数。后者用于确定基础函数的线性组合系数。

本文提出的方法是CNN-based ROM，该方法比传统的ROM方法对数据波动不敏感。基础CNN学习到的基础函数类似于数据，有助于显著减少基础函数的数量。Coef CNN可应用于非线性问题。本文还提供了两个应用：预测MsFEM基础函数并构建逆问题的准确代理。

最近在这个领域的相关研究包括：深度学习在ROM中的应用、使用神经网络进行多尺度建模等。