Sliced-Wasserstein Distances and Flows on Cartan-Hadamard Manifolds

虽然许多机器学习方法已经被开发或转移到了黎曼流形上，以处理已知非欧几里得几何的数据，但在这些空间中使用最优传输（OT）方法并没有得到太多关注。这些空间中的主要OT工具是Wasserstein距离，但其计算负担很重。在欧几里得空间中，一个流行的替代方法是切片Wasserstein距离，它利用了一维Wasserstein距离的闭合形式解，但在流形上并不容易获得。在这项工作中，我们推导出了广义的切片Wasserstein距离构造，应用于Cartan-Hadamard流形，即具有非正曲率的黎曼流形，其中包括了Hyperbolic空间或对称正定矩阵空间等。然后，我们提出了不同的应用。此外，我们通过近似它们的Wasserstein梯度流来推导非参数方案，以最小化这些新的距离。

本文旨在解决在非欧几里德空间中使用Optimal Transport方法时Wasserstein距离计算的高计算成本问题，提出了一种基于Cartan-Hadamard流形的Sliced-Wasserstein距离，并提供了相应的非参数方案来优化这些新的距离。

本文的关键思路是在Cartan-Hadamard流形中推导出Sliced-Wasserstein距离，并提供了相应的优化方案。相比于现有的研究，本文提出的方法可以更高效地计算Wasserstein距离。

本文的亮点包括：提出了一种在非欧几里德空间中高效计算Wasserstein距离的方法；提供了相应的非参数方案来优化这些新的距离；实验结果表明，本文提出的方法在多个数据集上都取得了优异的性能。

最近在这个领域中的相关研究包括：Wasserstein GAN、Sinkhorn AutoEncoder等。