A geometric decomposition of finite games: Convergence vs. recurrence under no-regret learning

考虑到无悔学习在游戏中的动态复杂性，我们试图将有限游戏分解成更简单的组成部分，其中动态的日常行为是易于理解的。这个问题的自然起点是Helmholtz定理，它将向量场分解为势和不可压缩的分量。然而，无悔动态的几何特性，特别是指数/乘性权重（EW）方案的动态特性，与Helmholtz定理的欧几里得基础不兼容，因此我们考虑基于Shahshahani度量的黎曼框架。利用这个几何构造，我们引入了不可压缩游戏类，并证明了以下结果：首先，除了保持体积不变外，不可压缩游戏中连续时间的EW动态具有运动常数，并且是Poincaré回归的，即几乎所有的游戏轨迹都会无限接近其起点。其次，我们建立了与游戏分解为势和谐分量（其中玩家的目标分别是对齐和反对齐）的著名分解的深刻联系：当且仅当游戏是谐波的时，它是不可压缩的，进而意味着EW动态会导致谐波游戏中的Poincaré回归。

解决问题：论文试图将有限游戏分解成更简单的组件，以便更好地理解动态的行为。

关键思路：使用基于Shahshahani度量的Riemannian框架，将游戏分为潜在和不可压缩组件，并证明了在不可压缩游戏中，EW动态具有运动常数，并且是Poincaré回归的。

其他亮点：论文还探讨了游戏的哈蒙尼克分解，并且证明了在哈蒙尼克游戏中，EW动态导致Poincaré回归。实验设计方面，论文未涉及。

相关研究：在这个领域中，还有一些相关研究，如《No-Regret Learning Dynamics and Potential Games》、《Stochastic No-Regret Learning and Potential Games》等。