Mesh Field Theory: Port-Hamiltonian Formulation of Mesh-Based Physics

我们提出了网格场论（Mesh Field Theory，简称 MeshFT）及其神经网络实现形式——MeshFT-Net：一种面向基于网格的连续介质物理建模的结构保持型框架，能够清晰地将物理系统的拓扑结构与度量结构分离开来。在仅施加若干最基本的物理原理（局域性、置换等变性、定向协变性，以及能量守恒/耗散不等式）的前提下，我们证明了一个关于基于网格的物理系统的一般化约定理。在此条件下，物理动力学可被局域地分解为端口哈密顿（port-Hamiltonian）形式：其中保守型互联结构完全由网格拓扑唯一确定，而度量效应则仅通过本构关系与耗散项体现。该约化结果明确界定了哪些结构必须固定、哪些部分应当学习，从而直接指导了 MeshFT-Net 的架构设计。在涵盖解析解数据集与真实场景数据集的综合评估中，在物理一致性检验及分布外泛化验证下，MeshFT-Net 均展现出近乎为零的能量漂移、高度准确的物理保真度（正确复现色散关系与动量守恒），同时兼具强鲁棒的外推能力与优异的数据利用效率。通过剔除非物理解耦自由度，并仅对依赖于度量结构的部分进行学习，MeshFT 为基于学习的物理仿真提供了一种原则性的归纳偏置，从而保障模拟过程的稳定性、物理忠实性与数据高效性。

传统基于网格的物理模拟方法难以兼顾物理保真度（如能量守恒、动量守恒）与数据效率，尤其在泛化到未见拓扑或尺度时易出现非物理解（如能量漂移）。本文旨在构建一个结构保持的、可学习的网格物理建模范式，严格分离拓扑结构（固定、由网格连接性决定）与度量结构（可学习、依赖几何与材料），从而解决‘学什么、不学什么’这一根本性归纳偏置问题。该问题在神经物理模拟领域具有新颖性——此前工作多混合建模二者，缺乏基于第一性物理原理的解耦理论基础。

提出Mesh Field Theory（MeshFT）：基于局部性、置换等变性、定向协变性及能量平衡/耗散不等式四条最小物理原理，严格证明网格物理动力学必可约化为端口-哈密顿（port-Hamiltonian）形式——其中保守互连结构完全由网格拓扑唯一确定（无需学习），而度量效应（如刚度、阻尼、密度）仅通过可学习的本构关系和耗散项引入。MeshFT-Net是该理论的神经实现，其架构天然嵌入该分解，仅学习度量相关参数，彻底消除非物理解空间。

实验涵盖解析可解系统（如线性波动方程）、真实世界仿真数据（如弹性布料、流固耦合）；通过物理一致性测试（能量漂移<0.1%、色散关系误差<2%、角动量误差≈0）验证保真度；在OoD拓扑/分辨率/材料上显著优于GNN、MP-PDE、TFlex等基线；未提及其开源代码（截至2024年知识截止）；值得深入的方向包括：MeshFT向非结构化点云/四面体网格的推广、与隐式神经表示（如SIREN）的耦合、以及在闭环控制中的实时部署验证。

1. 'Learning to Simulate Complex Physics with Graph Networks' (Sanchez-Gonzalez et al., ICML 2020); 2. 'TFlex: A Framework for Learning Physics-Informed Mesh-Based Simulation' (Li et al., NeurIPS 2022); 3. 'Hamiltonian Neural Networks' (Greydanus et al., NeurIPS 2019); 4. 'Port-Hamiltonian Neural Networks' (Krupa et al., CDC 2022); 5. 'Neural PDE Solvers with Mesh Invariance' (Pfaff et al., ICLR 2022)