Data-Driven Computing Methods for Nonlinear Physics Systems with Geometric Constraints

在一个越来越依赖数据驱动的科学发现的环境中，将机器学习（ML）与传统科学方法相结合已成为一种变革性的方法。本文介绍了一种新颖的数据驱动框架，将基于物理的先验知识与先进的ML技术相结合，以解决基于第一原理的方法和暴力机器学习方法固有的计算和实际限制。我们的框架展示了四种算法，每种嵌入了特定的基于物理的先验知识，针对不同类别的非线性系统，包括可分离和不可分离的哈密顿系统、双曲型偏微分方程和不可压缩流体动力学。物理定律的内在结合保留了系统的内在对称性和守恒定律，确保解是物理上合理和计算上高效的。这些先验知识的整合也增强了神经网络的表达能力，使它们能够捕捉常规方法常常忽略的物理现象中的复杂模式。因此，我们的模型在预测准确性、鲁棒性和预测能力方面优于现有的数据驱动技术，特别是在识别训练集中缺失的特征方面，尽管依赖于小数据集、短训练时间和小样本量。

论文旨在将机器学习与传统科学方法相结合，解决基于第一原理的方法和暴力机器学习方法所固有的计算和实际限制，提高预测准确性和鲁棒性。

论文提出了一种新的数据驱动框架，将基于物理学的先验知识与先进的机器学习技术相结合，以解决非线性系统的建模问题。

论文展示了四种算法，每种算法嵌入特定的基于物理学的先验知识，以适应不同类别的非线性系统，包括可分离和不可分离的哈密顿系统、双曲型偏微分方程和不可压缩流体动力学。该框架的特点是保留了系统的内在对称性和守恒定律，确保解决方案在物理上是合理的和计算上是高效的。此外，该框架还增强了神经网络的表达能力，使其能够捕捉传统方法通常忽略的复杂模式。实验表明，该模型在预测准确性、鲁棒性和预测能力方面优于现有的数据驱动技术，尽管只依赖于小型数据集、短期训练和小样本量。

最近的相关研究包括：《Physics-informed machine learning: An overview》、《Deep learning for universal linear embeddings of nonlinear dynamics》、《Data-driven discovery of partial differential equations》等。