Block Circulant Codes with Application to Decentralized Systems

线性码的编码符号之间的线性依赖关系结构，不考虑具体的系数，被称为该码的“拓扑结构”。系数的规定被称为该拓扑结构的“实例化”。本文提出了一种新的块循环拓扑结构$T_{[\mu,\lambda,\omega]}(\rho)$，其中$\rho\geq2$，$\omega\geq1$，$\lambda\geq2$，且$\mu$为$\lambda$的倍数。在这种拓扑结构中，该码具有$\mu$个本地码，每个本地码有$\rho$个奇偶校验约束条件，总共有$\mu\rho$个奇偶校验方程来完全定义该码。接下来，我们构造了一类块循环码${\cal C}_{\text{BC}}[\mu,\lambda,\omega,\rho]$，其块长度为$n=\mu(\rho+\omega)$，维度为$k=\mu\omega$，实例化了$T_{[\mu,\lambda,\omega]}(\rho)$。${\cal C}_{\text{BC}}[\mu,\lambda,\omega,\rho]$的每个本地码都是一个$[\rho+\lambda\omega,\lambda\omega,\rho+1]$的广义Reed-Solomon (RS)码。本地码之间的重叠有助于将最小距离从$\rho+1$增加到$2\rho+1$，而不会太大地影响码率。当$\lambda=2$时，我们提供了一种有效的、可并行化的纠错算法来纠正$2\rho$个擦除。最后，我们说明BC码作为解决区块链网络数据可用性问题的协议中的可行替代方案。在这些协议中，轻节点网络中的每个节点随机查询存储在完整节点中的码字中的符号，并使用加密承诺方案进行验证。对于解决数据可用性问题的相同性能，BC码需要查询比固定高速率的可比2D RS码更少的符号。此外，BC码中本地码的数量通常更少，从而降低了实现承诺方案的复杂性。

提出一种新的块循环拓扑线性码结构，用于解决区块链数据可用性问题，并比较其与2D RS码的性能差异。

文章提出了一种基于块循环拓扑的线性码结构，并构建了一个类别的块循环码，用于解决区块链网络中的数据可用性问题。该码结构的亮点是在保持高速率的情况下，最小距离得到增强，同时能够减少查询码字的数量，降低实现承诺方案的复杂度。

论文提出了一种新的线性码结构，并提供了一个有效的并行解码算法。实验结果表明，与2D RS码相比，该码结构的性能更好，并且在保持高速率的同时能够减少查询码字的数量。此外，该码结构的实现复杂度更低，具有更好的可扩展性。

最近的相关研究包括：《区块链中的编码技术：现状和未来方向》、《基于区块链的数据存储方案综述》等。