Extremization to Fine Tune Physics Informed Neural Networks for Solving Boundary Value Problems

我们提出了一种新颖的方法，用于快速准确地训练物理信息神经网络（PINN），以找到边界值问题（BVP）和初始边界值问题（IBVP）的解。通过结合深度神经网络（DNN）和极限学习机（ELM）的训练方法，我们开发了一种模型，具有DNN的表达能力和ELM的微调能力。我们通过解决包括线性和非线性常微分方程（ODE）、偏微分方程（PDE）和耦合PDE在内的几个BVP和IBVP的例子，展示了我们提出的方法的优越性。我们考虑的例子包括传统数值方法失败的一个硬耦合ODE系统、一个3+1D非线性PDE、Kovasznay流和Taylor-Green涡旋解的不可压Navier-Stokes方程和1+1 D可压Euler方程的纯对流解。 我们使用函数连接理论（TFC）来精确地将（I）BVP的初始和边界条件（IBC）强制加在PINN上。我们提出了一种TFC框架的修改版本，称为Reduced TFC，并展示了与使用TFC强制实施IBC相比，训练和推断时间的显着改进。此外，Reduced TFC被证明能够推广到更复杂的边界几何形状，这是TFC不可能实现的。我们还介绍了一种在BVP的无限边界处应用边界条件的方法，并使用这些边界条件数值求解了1+1 D Euler方程的纯对流问题。

快速准确地训练物理信息神经网络（PINNs）来解决边界值问题和初始边界值问题是本论文试图解决的问题。

本论文提出了一种将深度神经网络（DNNs）和极限学习机（ELMs）相结合的方法，以具有DNNs表达能力和ELMs微调能力的模型来解决PINNs的训练问题。同时，本论文还提出了一种改进的TFC框架，即Reduced TFC，来更好地实现初始边界条件的约束。

本论文通过解决多个BVPs和IBVPs来展示其方法的优越性，包括线性和非线性ODEs，PDEs和耦合PDEs。同时，本论文还使用Reduced TFC方法来实现更快的训练和推断时间，并能够适应更复杂的边界几何。此外，本论文还介绍了一种在无穷远处施加边界条件的方法，并使用这种方法数值求解了1+1 D Euler方程的纯平流解。

与本论文相关的研究包括PINNs在不同领域的应用，如流体力学和材料科学。此外，还有一些研究探索使用不同的方法来解决BVPs和IBVPs，如有限元方法和谱方法。