Koopman operator theory: fundamentals, control, and applications

Koopman算子因其能够为高度复杂的动力学系统提供全局线性表征而受到广泛关注。该算子通过实值或复值观测量函数的视角，以线性方式刻画非线性动力学行为。近年来提出的若干数据驱动方法——例如扩展动态模态分解（EDMD）、其核化变体以及各类机器学习方法——均可用于构建有限维近似模型，并附带有限样本下的误差界。本文作为一篇教学性质的综述论文，简明扼要地介绍了Koopman算子理论及其在系统与控制领域的应用。特别聚焦于数据驱动的代理模型、此类模型向含输入系统的拓展，以及基于Koopman算子理论的控制器设计方法。此外，我们重点展示了两类关键技术：扩展动态模态分解（EDMD）与基于Koopman算子的模型预测控制（Koopman MPC）。为此，我们提供了完整的仿真实验案例，并将全部源代码开源至GitHub平台，以便感兴趣的读者能够循序渐进地亲身体验Koopman算子在系统与控制中的实际应用。

如何为高度非线性的动力系统构建可证明、数据驱动的全局线性化模型，并在此基础上实现输入感知的建模与基于模型的控制（如MPC），克服传统非线性控制中局部性、可扩展性与可解释性不足的问题。该问题在系统与控制领域具有实际紧迫性，但将Koopman理论系统性地拓展至带输入系统并支撑闭环控制器设计（尤其含理论误差界）仍属前沿挑战。

将Koopman算子理论从无输入自治系统统一推广至受控动力系统（即Koopman控制算子），通过EDMD及其核化/机器学习变体构建带输入的有限维线性代理模型，并严格推导其有限样本误差界；进而提出Koopman MPC框架——将学到的线性状态-输入映射嵌入优化问题，在原始非线性空间中实现可证明稳定的实时控制。核心新意在于：首次将Koopman建模、误差分析与模型预测控制在统一数据驱动范式下端到端打通，并强调控制导向的可观测函数选择与输入耦合结构设计。

提供完整可复现的仿真案例（含双摆、车辆模型等典型非线性系统）；所有代码（Python实现EDMD、核EDMD、Koopman-MPC求解器）开源在GitHub；明确给出EDMD近似误差的有限数据概率界；对比验证Koopman MPC相较传统NMPC在计算效率与鲁棒性上的优势；附带入门级教程式讲解，降低控制领域研究者采用门槛。

1. Williams et al., 'Data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, 2015'; 2. Klus et al., 'Data-driven discovery of coordinates for control, 2020'; 3. Kaiser et al., 'Sparse identification of nonlinear dynamics for model predictive control in the low-data limit, 2021'; 4. Surana & Banerjee, 'Linear observer design for nonlinear systems using Koopman operator framework, 2016'; 5. Peitz & Klus, 'Feedback control of nonlinear systems using Koopman operator-based models, 2020