Generalized Low-Rank Matrix Completion Model with Overlapping Group Error Representation

低秩矩阵补全技术在低级别视觉任务中取得了显著成果。在低秩矩阵补全中，有一个基本假设，即现实世界的矩阵数据是低秩的。然而，真实的矩阵数据并不满足严格的低秩属性，这无疑对上述矩阵恢复方法提出了严峻的挑战。幸运的是，有可行的方案可以设计适当和有效的先验表示来描述真实数据的内在信息。本文首先将矩阵数据${\bf{Y}}$建模为低秩逼近分量$\bf{X}$和逼近误差分量$\cal{E}$的和。这种更细粒度的数据分解架构使得每个信息组件可以更精确地描绘。此外，我们设计了一个重叠组误差表示（OGER）函数来描述上述误差结构，并提出了一种基于OGER的广义低秩矩阵补全模型。具体而言，低秩分量描述了矩阵数据的全局结构信息，而OGER分量不仅弥补了低秩分量和真实数据之间的逼近误差，还更好地捕捉了矩阵数据的局部块稀疏信息。最后，我们开发了一种交替方向乘法器（ADMM）算法，将主导-最小化（MM）算法集成在一起，从而实现了所提出模型的高效求解。我们还从理论和实验两方面详细分析了算法的收敛性。此外，数值实验的结果表明，所提出的模型在性能上优于现有的竞争模型。

本文旨在解决低秩矩阵补全（LRMC）技术在实际应用中面临的挑战，即真实矩阵数据不满足严格的低秩属性的问题。

本文提出了一种更精细的数据分解架构，将矩阵数据分解为低秩逼近成分和逼近误差成分，并设计了一种重叠分组误差表示（OGER）函数来描述逼近误差结构，进而基于OGER提出了一种广义低秩矩阵补全模型。该模型不仅描述了矩阵数据的全局结构信息，还更好地捕捉了矩阵数据的局部块稀疏信息。

本文提出的模型在实验中表现出比现有竞争模型更好的性能。本文使用了交替方向乘子法（ADMM）来高效地解决所提出的模型，并在理论上和实验上分析了算法的收敛性。

近期的相关研究包括《Large-scale low-rank matrix learning with missing data》、《Robust Matrix Completion via Joint Low-rank and Structured Sparse Decomposition》等。