Jacobi Stability Analysis for Systems of ODEs Using Symbolic Computation

Kosambi-Cartan-Chern（KCC）的经典微分几何理论提供了一种强大的方法来分析动力系统的行为。在KCC理论中，动力系统的属性用五个几何不变量描述，其中第二个对应于所谓的Jacobi稳定性。与文献中广泛研究的Lyapunov稳定性不同，Jacobi稳定性的分析最近使用几何概念和工具进行了研究。结果表明，现有的Jacobi稳定性分析工作仍然是理论性的，算法和符号处理的问题尚未得到解决。在本文中，我们开始研究任意维度的ODE系统的问题，并提出两种使用符号计算的算法方案，以检查非线性动力系统是否可能呈现Jacobi稳定性。第一种方案基于特征多项式的复根结构构造和量词消除方法，能够检测给定动力系统的Jacobi稳定性的存在。第二种算法方案利用半代数系统求解方法，允许确定给定动力系统的参数条件，以获得所需数量的Jacobi稳定固定点。提供了几个示例来证明所提出的算法方案的有效性。

本论文旨在探讨如何算法地检测非线性动力系统是否具有雅可比稳定性，以及如何确定给定动力系统具有预定数量的雅可比稳定固定点的参数条件。

本文提出了两种基于符号计算的算法方案，一种基于特征多项式的复根结构构造和量词消除方法，能够检测给定动力系统是否具有雅可比稳定性，另一种基于半代数系统求解方法，能够确定给定动力系统具有预定数量的雅可比稳定固定点的参数条件。

本文提出的算法方案在多个例子中展现了其有效性。本文还提出了一种新的雅可比稳定性分析方法，不同于已有的李亚普诺夫稳定性分析方法。

最近的相关研究主要集中在使用几何概念和工具来研究雅可比稳定性分析，但这些工作仍然停留在理论层面，还未解决算法和符号处理问题。