Kernel Quantile Embeddings and Associated Probability Metrics

将概率分布嵌入到再生核希尔伯特空间（RKHS）中，使得诸如最大均值差异（MMD）等强大的非参数方法成为可能。MMD 是一种具有强大理论和计算特性的统计距离。其核心思想是利用核均值嵌入，将分布表示为 RKHS 中的均值函数。然而，尚不清楚均值函数是否是分布的唯一有意义的 RKHS 表示形式。 受广义分位数的启发，我们引入了核分位数嵌入（KQEs）的概念。然后，我们利用 KQEs 构造了一类距离度量，这些距离具有以下特性：(i) 在比 MMD 更弱的核条件下，它们仍然是概率度量；(ii) 能够恢复切片 Wasserstein 距离的核化形式；(iii) 可以以接近线性的成本高效估计。 通过假设检验，我们证明这些距离为 MMD 及其快速近似提供了一个有竞争力的替代方案。

该论文试图解决如何更全面地表示和比较概率分布的问题。具体来说，它探讨了是否可以通过超越传统的核均值嵌入（MMD的核心），找到新的RKHS表示方法来衡量分布间的距离。这是一个具有一定创新性的问题，因为尽管MMD已被广泛研究，但其表示形式的局限性尚未被充分探索。

论文引入了核量化嵌入（KQEs）的概念，这是一种受广义分位数启发的新表示方法。与传统的核均值嵌入不同，KQEs能够构建一系列新的距离度量，这些度量在较弱的核条件下仍然有效，并且可以恢复核化的切片Wasserstein距离。这一思路的创新点在于扩展了RKHS中概率分布的表示形式，从而提供了比MMD更具灵活性的距离度量。

论文展示了基于KQEs的距离度量在假设检验任务中的竞争力，并证明了它们可以以接近线性的计算成本高效估计。实验部分设计了多个对比实验，验证了新方法相对于MMD及其快速近似版本的优势。虽然论文未明确提及数据集或开源代码，但其理论框架为未来的研究提供了清晰的方向，例如探索更多实际应用场景以及优化计算效率。

近期相关研究包括：1) 切片Wasserstein距离及其核化变体的研究，如《Sliced Wasserstein Kernels for Probability Distributions》；2) 核均值嵌入的改进与应用，如《Fast Two-Sample Testing with Analytic Representations of Probability Measures》；3) 非参数统计测试中的高效算法开发，如《Learning Deep Kernels for Non-Parametric Two-Sample Tests》。此外，《On the Expressiveness of Kernel Mean Embeddings》等论文也讨论了核均值嵌入的表达能力限制，为本研究提供了理论背景。