GMC-PINNs: A new general Monte Carlo PINNs method for solving fractional partial differential equations on irregular domains

物理学知识指导的神经网络（PINNs）已被广泛应用于解决不同类型的偏微分方程（PDEs），包括分数PDEs（fPDEs）[29]。在本文中，我们提出了一种新的通用（准）蒙特卡罗PINN，用于解决不规则域上的fPDEs。具体而言，我们使用更一般的蒙特卡罗逼近方法来解决不同的fPDEs，而不是像以前在[31]中所做的那样通过积分的蒙特卡罗逼近来逼近分数导数，这种方法适用于任何定义下的分数导数。此外，基于集合概率密度函数，所生成的节点都位于我们进行微分的目标点附近的更密集区域。这与已知的非等距或嵌套网格上的有限差分方法有意外的联系，因此我们的方法继承了它们的优点。同时，所生成的节点呈块状密集分布，导致此方法具有良好的计算效率。我们提出了使用此算法的框架，并将其应用于几个示例。我们的结果证明了GMC-PINNs在处理不规则域问题方面的有效性，并显示与原始fPINN方法相比具有更高的计算效率。我们还与蒙特卡罗fPINN [31]进行了比较。最后，我们使用示例演示了该方法在处理模糊边界位置问题方面的有效性，然后使用该方法解决了定义在人脑室域中的耦合3D分数Bloch-Torrey方程，并将结果与经典数值方法进行了比较。

本论文旨在解决分数偏微分方程（fPDEs）在不规则域上的求解问题，并验证新的（准）蒙特卡洛PINN方法的有效性。

论文提出了一种更加通用的蒙特卡洛逼近方法来解决不同类型的fPDEs，该方法适用于任何分数导数的定义。同时，基于集合概率密度函数，生成的节点都位于目标点附近的密集区域，这与已知的非等间距或嵌套网格上的有限差分方法有意想不到的联系，因此该方法继承了它们的优点。

论文提出的GMC-PINNs方法在处理不规则域问题时具有良好的计算效率，比原始fPINN方法更高效。实验结果表明，该方法在处理模糊边界位置问题时也非常有效，并将该方法用于求解人脑室域中定义的耦合3D分数Bloch-Torrey方程，并与经典数值方法进行比较。

最近的相关研究包括使用PINNs求解PDEs，以及使用蒙特卡洛方法逼近分数导数的方法。其中，与本文最相关的是Monte Carlo fPINN方法。