Graph Neural PDE Solvers with Conservation and Similarity-Equivariance

利用机器学习解决偏微分方程（PDEs）的问题存在重大挑战，因为空间域的多样性及其相应的状态配置使得仅通过数据驱动的方法包含所有潜在情况变得复杂。此外，对于这种方法的泛化和可靠性存在合理的担忧，因为它们常常忽略固有的物理约束。针对这些挑战，本研究引入了一种新颖的机器学习架构，该架构高度可推广，并遵守守恒定律和物理对称性，从而确保更高的可靠性。该架构的基础是图神经网络（GNNs），它们擅长适应各种形状和形式。此外，我们探索了GNNs和传统数值求解器之间的相似之处，从而促进了保守原则和对称性融入机器学习模型的无缝集成。我们实验的发现表明，模型包含物理定律显著提高了其泛化能力，即对于未知空间域没有显著的精度降低，而其他模型则有所降低。代码可在https://github.com/yellowshippo/fluxgnn-icml2024获得。

如何利用机器学习解决偏微分方程（PDE）的问题？如何确保机器学习模型遵守物理约束条件并具有更好的可靠性和泛化性能？

论文提出了一种新的机器学习架构，基于图神经网络（GNN），能够很好地适应各种形状和形式，并且遵守守恒定律和物理对称性，从而确保更好的可靠性。论文探索了GNN和传统数值求解器之间的相似之处，实现了保守原则和对称性与机器学习模型的无缝集成。

论文的实验结果表明，将物理定律纳入模型能够显著提高其泛化性能，即在未见过的空间域上也能保持较高的准确性。论文代码已开源，可在GitHub上获取。

与该论文相关的研究包括：1. "Physics-Informed Neural Networks: A Deep Learning Framework for Solving Forward and Inverse Problems Involving Nonlinear Partial Differential Equations"；2. "Symmetry and Conservation Laws for Neural Networks"