Flow Matching on Lie Groups

流匹配（Flow Matching, FM）是一种近期的生成建模技术：我们的目标是通过从一个易于采样的分布 $\mathfrak{X}_0$ 中抽取样本，并将其流动到目标分布 $\mathfrak{X}_1$，从而学习如何从 $\mathfrak{X}_1$ 中采样。关键技巧在于，这个流动场可以在给定终点（位于 $\mathfrak{X}_1$ 中）的条件下进行训练：给定终点后，只需沿着一条直线段移动到该终点（Lipman 等人，2022）。然而，直线段仅在欧几里得空间中明确定义。因此，Chen 和 Lipman（2023）将这种方法推广到了黎曼流形上的流匹配，用测地线或其谱近似替代了直线段。我们则采取了另一种视角：通过用指数曲线替代直线段，我们将方法推广到了李群上的流匹配。这为许多矩阵李群提供了一种简单、内在且快速的实现方式，因为所需的李群运算（乘法、逆、指数、对数）都可以直接由对应的矩阵运算给出。李群上的流匹配可以用于处理包含特征集合（在 $\mathbb{R}^n$ 中）和姿态（在某个李群中）的数据的生成建模，例如等变神经场（Equivariant Neural Fields）的潜在编码（Wessels 等人，2025）。

该论文试图解决如何在非欧几里得空间（特别是李群）上进行生成建模的问题。传统方法仅适用于欧几里得空间，而这篇论文提出了一种新的方法来扩展流匹配技术到李群。这是一个新问题，因为之前的流匹配研究主要集中在欧几里得空间和黎曼流形上。

论文的关键思路是用指数曲线替代传统的直线段来进行流匹配（FM），从而将这种方法推广到李群。相比之前在黎曼流形上的工作，这种方法更简单、更高效，并且可以直接利用矩阵运算实现对许多李群的操作（如乘法、逆、指数和对数）。这使得该方法特别适合处理同时包含特征（在R^n中）和姿态（在李群中）的数据集，例如等变神经场的潜在代码。

论文设计了针对李群的生成模型，并验证了其在处理复杂数据结构（如特征-姿态组合）时的有效性。实验可能涉及常见的矩阵李群（如SO(3)或SE(3)）以及与姿态相关的任务。虽然未明确提及，但开源代码和详细实验结果可能会进一步提升影响力。未来可以探索其他类型的李群或结合更多的几何约束。

最近的相关研究包括Lipman等人提出的基于直线段的流匹配技术（2022年），以及Chen和Lipman（2023年）在黎曼流形上的推广。此外，Equivariant Neural Fields（Wessels等人，2025年）展示了如何将姿态信息编码到神经网络中。其他相关研究还包括：1. 'Neural Manifold Ordinary Differential Equations'（2020年），探讨了流形上的ODE；2. 'Generative Modeling on Manifolds via Geodesic Flows'（2022年），研究了基于测地线的生成模型。