Mathematical Modeling of Option Pricing with an Extended Black-Scholes Framework

本研究通过在偏微分方程（PDE）框架下扩展Black-Scholes模型，引入随机波动率和利率变动，以提升期权定价的准确性。该偏微分方程采用有限差分法进行求解。同时，研究开发并评估了扩展的Black-Scholes模型和基于机器学习的LSTM模型，用于对谷歌股票期权进行定价。两种模型均使用历史市场数据进行了回测。结果表明，虽然LSTM模型表现出更高的预测精度，但有限差分法在计算效率方面更具优势。本研究为不同市场条件下的模型性能提供了深入见解，并强调了混合方法在稳健金融建模中的潜在价值。

该论文试图通过扩展Black-Scholes模型来解决传统模型在处理波动率和利率变化时的不足问题，同时验证机器学习模型（LSTM）是否能在期权定价中提供更高的预测精度。这是一个经典金融建模问题的新尝试，结合了现代深度学习方法。

论文的关键思路是将传统的Black-Scholes模型扩展为包含随机波动率和利率变化的PDE，并通过有限差分法求解。同时，引入基于LSTM的机器学习模型作为对比，探索两种方法在期权定价中的表现差异。相比现有研究，本文创新性地结合了数值计算与深度学习技术，提供了对不同市场条件下的模型性能分析。

论文设计了严谨的实验，使用Google股票的历史数据进行回测，比较了有限差分法和LSTM模型的优劣。实验结果表明，LSTM具有更高的预测精度，而有限差分法则表现出更强的计算效率。此外，作者还强调了混合方法在未来金融建模中的潜力。遗憾的是，文中未提及代码开源情况，但值得进一步研究的方向包括更复杂的神经网络架构以及实时数据的应用。

近年来，关于期权定价的研究逐渐融合了更多机器学习技术。例如，《Deep Hedging》探讨了利用深度学习优化动态对冲策略；《Neural Network Models for Option Pricing》研究了神经网络在期权定价中的应用；《Stochastic Volatility Modeling with Machine Learning》则专注于将机器学习与随机波动率模型结合。这些研究共同推动了金融工程领域的创新发展。