Single-seed generation of Brownian paths and integrals for adaptive and high order SDE solvers

虽然自适应时间步长在ODE模拟中取得了成功，但在随机微分方程（SDE）中，它的应用还很少。为了自适应地模拟SDE，已经开发出了一些方法，例如虚拟布朗树（VBT），它可以非按时间顺序生成布朗运动（BM）。然而，在大多数应用中，仅知道布朗运动的值是不足以实现高阶收敛的；为了实现高阶SDE求解器，我们必须计算BM的时间积分，例如$\int_s^t W_r \, dr$。为了使用高阶SDE求解器进行自适应求解，我们扩展了VBT，以生成这些BM的积分，除了布朗增量。我们的构造基于JAX实现，并包含在流行的Diffrax库（https://github.com/patrick-kidger/diffrax）中。由于VBT生成的整个布朗路径仅由单个PRNG种子唯一确定，因此先前生成的样本不需要存储，这导致内存占用保持恒定，并实现了实验的可重复性和强错误估计。基于二分搜索，VBT的时间复杂度与容差参数$\varepsilon$的对数成比例。与原始的VBT算法不同，该算法仅在某些二进制时间精确，我们证明了我们的构造在任何查询时间上完全匹配布朗运动及其时间积分的联合分布，前提是它们至少相距$\varepsilon$。 我们提出了两种应用我们新的VBT实现的自适应高阶求解器。使用自适应求解器模拟高波动性CIR模型，我们实现了比恒定步长高两倍以上的收敛阶数。我们将自适应的三阶欠阻尼或动力学朗之万求解器应用于MCMC问题，我们的方法优于No U-Turn Sampler，同时仅使用其函数评估的十分之一。

高阶随机微分方程（SDE）求解中的自适应时间步长方法不太适用，因为需要计算布朗运动的时间积分。本文提出了一种扩展虚拟布朗树（VBT）来生成布朗运动时间积分的方法，以实现高阶SDE求解的自适应。

本文扩展了VBT方法，通过二分查找实现时间复杂度对容差参数ε的对数级别，并证明了新方法可以在任意查询时间点上准确匹配布朗运动及其时间积分的联合分布。

本文提出的方法可以实现高阶SDE求解的自适应，应用于高波动性CIR模型和MCMC问题中，分别实现了更高的收敛阶和更少的函数评估次数。新方法的内存占用是常数级别的，可以实现实验的可重复性和强大的误差估计。

最近的相关研究包括：自适应时间步长方法在SDE求解中的应用，VBT算法在SDE求解中的应用等。