Beyond Euclid: An Illustrated Guide to Modern Machine Learning with Geometric, Topological, and Algebraic Structures

欧几里得几何学的持久影响支撑着经典机器学习，几十年来，这种学习方法主要用于欧几里得空间中的数据。然而，现代机器学习越来越多地遇到天然的非欧几里得结构的复杂结构数据。这些数据可能展示出复杂的几何、拓扑和代数结构：从时空曲率的几何到大脑神经元之间的拓扑复杂相互作用，再到描述物理系统对称性的代数变换。从这样的非欧几里得数据中提取知识需要更广泛的数学视角。回应19世纪引起非欧几里得几何学的革命，一个新兴的研究方向正在用非欧几里得结构重新定义现代机器学习。其目标是将经典方法推广到具有几何、拓扑和代数的非传统数据类型。在本综述中，我们提供了一个易于理解的入门，介绍了这个快速发展的领域，并提出了一个图形分类法，将最新进展整合成一个直观的统一框架。我们随后从中提取出对当前挑战的见解，并突出未来发展中令人兴奋的机会。

论文旨在解决在机器学习中遇到的非欧几里得数据的处理问题，这种数据具有复杂的几何、拓扑和代数结构。该论文试图通过提出一种新的数学视角来解决这个问题。这是否是一个新问题？

该论文提出了一种新的数学框架，将非欧几里得结构纳入到机器学习中。这种框架可以推广到各种类型的非欧几里得数据，包括具有曲率的时空数据、神经元之间的拓扑复杂相互作用以及描述物理系统对称性的代数变换。相比当前领域的研究，该论文的思路具有新意。

该论文提供了一个易于理解的分类法，将最新进展整合到一个直观的统一框架中。该论文还介绍了一些实验设计和数据集，并提出了一些可以进一步研究的问题。

最近的相关研究包括：《Geometric Deep Learning: Going beyond Euclidean data》、《Topology and Data》、《Deep Learning on Manifolds》等。