A Comprehensive Review of Latent Space Dynamics Identification Algorithms for Intrusive and Non-Intrusive Reduced-Order-Modeling

数值求解偏微分方程（PDE）的方法已广泛应用于模拟物理系统。然而，计算成本仍是各种科学和工程应用中的主要瓶颈，这促进了简化模型（ROMs）的发展。最近，基于机器学习的ROMs已经受到了广泛的关注，并有望解决传统ROM方法的一些局限性，特别是对于平流占主导地位的系统。在本章中，我们专注于一种特定的框架，称为潜在空间动力学识别（LaSDI），它将由PDE控制的高保真度数据转换为由普通微分方程（ODEs）控制的简单低维潜在空间数据。这些ODEs可以被学习并随后进行插值以进行ROM预测。LaSDI的每个构建块都可以根据应用程序进行简单调节，这使得LaSDI框架非常灵活。特别是，我们提出了在LaSDI模型中强制执行热力学定律的策略（tLaSDI），通过弱形式（WLaSDI）增强在存在噪声的情况下的稳健性，通过主动学习高保真度训练数据的选择（gLaSDI，GPLaSDI），并通过高斯过程量化ROM预测的不确定性（GPLaSDI）。我们展示了不同LaSDI方法在Burgers方程，非线性传热问题和等离子体物理问题上的性能，表明LaSDI算法可以实现相对误差小于几个百分点，且速度提高数千倍。

论文旨在解决部分微分方程（PDE）数值求解的计算成本高的问题，提出了一种基于机器学习的降阶模型（ROM）框架LaSDI，以及在其中加入热力学定律、弱形式、主动学习和高斯过程等策略。

LaSDI框架将高保真度的PDE数据转换为低维度的ODE数据，并通过学习和插值来进行ROM预测，具有高度灵活性。

论文提出了四种不同的LaSDI方法，分别是tLaSDI、WLaSDI、gLaSDI和GPLaSDI，分别用于加入热力学定律、提高噪声下的鲁棒性、高效选择高保真度的训练数据和量化ROM预测的不确定性。实验结果表明，LaSDI算法可以实现少于几个百分点的相对误差和高达数千倍的加速。

近年来，基于机器学习的ROM方法在PDE数值求解中备受关注。与传统的ROM方法相比，这些方法具有更好的性能和灵活性。在相关研究方面，最近的一些论文包括：'Physics-Informed Neural Networks for Nonlinear Partial Differential Equations'、'DeepXDE: A Deep Learning Library for Solving Differential Equations'等。