Generative modeling of Sparse Approximate Inverse Preconditioners

我们提出了一种新的深度学习范式，用于生成稀疏近似逆（SPAI）预处理器，用于来自椭圆微分算子的基于网格的离散化的矩阵系统。我们的方法基于这样一个观察结果，即以这种方式生成的矩阵不是任意的，而是从它们所离散化的微分算子中继承属性。因此，我们通过一个精心设计的自编码器，从低维子空间中表示可学习的高性能预处理器分布，该自编码器能够为这些系统生成SPAI预处理器。该概念已在多种二阶和四阶椭圆偏微分方程的有限元离散化中得到实现，并取得了非常有前途的结果。

本论文旨在为椭圆微分算子的基于网格的离散化的矩阵系统生成稀疏近似逆（SPAI）预处理器提供一种新的深度学习范式。

本文的关键思路是通过自动编码器从低维子空间中表示可学习的高性能预处理器的分布，从而生成这些系统的SPAI预处理器。

本文的实验结果非常有前景，已经在二阶和四阶椭圆偏微分方程的各种有限元离散化中得到实现。值得关注的是，本文的方法是基于离散化的微分算子的属性而不是任意矩阵，这是与当前领域研究状况的不同之处。

最近的相关研究包括：1. 'A deep learning approach to solving elliptic PDEs on meshes'；2. 'Deep learning for universal linear embeddings of nonlinear dynamics'；3. 'Deep learning for computational fluid dynamics: a review'。