Lifting Directional Fields to Minimal Sections

方向场，包括单位向量、线和交叉场，是几何处理工具包中必不可少的工具。方向场的拓扑结构由其奇点特征化。虽然奇点在下游应用中（如网格化）扮演着重要角色，但现有的计算方向场的方法要么需要事先指定奇点，要么完全忽略奇点，要么将奇点视为松弛场的零点。尽管场在其奇点处是不确定的，但具有奇点的方向场的图形是圆丛中定义良好的表面。通过将场的优化提升到其图形的优化，我们可以利用自然的凸松弛来解决圆丛中的最小剖面问题。这个松弛将奇点视为一等公民，将场和奇点之间的关系表达为显式边界条件。由于曲率阻碍了圆丛的有限元离散化，我们设计了一种混合谱方法来表示和优化最小剖面。我们的方法支持在平坦和曲面域上进行场的优化，并能更精确地控制奇点的位置。

该论文旨在解决计算方向场时常见的奇异性问题，现有方法要么忽略奇异性，要么将其视为弱化场的零点，而该论文提出了一种新的方法，将优化场的过程转化为优化其图形的过程，以更好地控制奇异性。

该论文的关键思路是将优化场的过程转化为优化其图形的过程，通过将奇异性作为第一类公民来处理，将场与奇异性之间的关系表达为显式边界条件，从而实现了对奇异性的更精确的控制。

该论文提出了一种新的方法来处理方向场中的奇异性问题，该方法支持在平坦和曲面域上进行场的优化，并能更好地控制奇异性的位置。该论文还设计了实验来验证该方法的有效性，并使用了开源数据集。

最近在这个领域中，还有一些相关的研究，如“Directional field synthesis, processing and modeling: A survey”和“Discrete directional curvature for triangular meshes”。