Tackling the Curse of Dimensionality in Fractional and Tempered Fractional PDEs with Physics-Informed Neural Networks

分数阶和阶温和的偏微分方程是长程相互作用、反常扩散和非局部效应的有效模型。这些问题的传统数值方法是基于网格的，因此难以克服维数灾难。物理信息神经网络（PINN）由于其通用逼近、泛化能力和无网格训练而提供了有希望的解决方案。原则上，蒙特卡罗分数PINN（MC-fPINN）使用蒙特卡罗方法估计分数导数，因此可以克服维数灾难。然而，这可能会导致显著的方差和误差，从而影响收敛；此外，MC-fPINN对超参数敏感。总的来说，针对阶温和的PDE的数值方法，特别是PINN，尚未得到充分发展。在本文中，我们将MC-fPINN扩展到阶温和的PDE，以解决这些问题，从而得到蒙特卡罗阶温和的PINN（MC-tfPINN）。为了减少蒙特卡罗采样可能产生的高方差和误差，我们使用一维高斯积分替换了一维蒙特卡罗，适用于MC-fPINN和MC-tfPINN。我们在各种分数和阶温和PDE的正向和反向问题上验证了我们的方法，扩展到100,000个维度。我们改进的MC-fPINN/MC-tfPINN使用积分方法在非常高的维度中始终优于原始版本的准确性和收敛速度。

本文试图解决分数和温和分数偏微分方程的数值求解问题。传统的数值方法在高维度下受到困扰，而物理信息神经网络（PINN）则可以通过无网格训练来解决这个问题。然而，现有的PINN方法对于温和分数偏微分方程的数值求解仍然不完善。本文旨在扩展现有的Monte Carlo fractional PINN (MC-fPINN)方法，提出Monte Carlo tempered fractional PINN (MC-tfPINN)方法，以解决这些问题。

本文提出了一种新的方法，将一维蒙特卡罗采样替换为一维高斯积分，以减少可能出现的高方差和误差。这种方法在高维度下的精度和收敛速度都优于原始的MC-fPINN/MC-tfPINN方法。

本文使用MC-tfPINN方法对多种分数和温和分数偏微分方程进行了验证，验证结果表明该方法在高维度下具有更高的准确性和收敛速度。实验使用了多个数据集，并且开源了代码。本文的方法可以应用于其他领域的数值求解问题。

在相关研究方面，最近有一些研究使用PINN方法来解决偏微分方程的数值求解问题，例如：'Physics-informed neural networks for high-dimensional surrogate modeling and uncertainty quantification without full-grid solutions' 和 'Physics-informed neural networks for the solution of forward and inverse stochastic problems in elliptic partial differential equations'。