Physics-informed deep learning and compressive collocation for high-dimensional diffusion-reaction equations: practical existence theory and numerics

深度学习（DL）即使用深度神经网络（DNN）进行机器学习的技术，已经成为解决偏微分方程（PDE）的强有力工具。人们发现，DNN特别适用于减弱维数诅咒的影响。维数诅咒是Richard E. Bellman在50年代晚期创造的术语，用来描述诸如样本复杂度（即解决逼近问题所需的样本数量）与环境空间维数的指数依赖等挑战。虽然自90年代以来就已经使用DNN来解决PDE，但关于它们在数值分析（即稳定性、精度和样本复杂度）方面的数学效率的文献直到最近才开始出现。本文利用基于稀疏技术和随机采样的函数逼近的最新进展，开发和分析了一种基于DL的高维PDE求解器，并在理论和数值上展示了它可以与一种新的稳定和准确的压缩谱方法相竞争。特别是，我们证明了一个新的实用存在定理，该定理建立了一类可训练的DNN的存在性，具有适当的网络结构界限和样本复杂度的充分条件，在维数上呈对数或最坏线性缩放，使得由此产生的网络稳定地和准确地逼近扩散反应PDE的概率很高。

通过深度学习解决偏微分方程（PDE）问题的稳定性、准确性和样本复杂度的数值分析问题。

利用稀疏技术和随机采样的函数逼近方法，开发并分析了一种高效的基于深度学习的高维PDE求解器。证明了存在一类可训练的DNN，具有适当的网络结构和足够的样本复杂度，能够稳定、准确地近似扩散反应PDE。

论文提出了一种新的实用存在定理，证明了一类可训练的DNN能够稳定、准确地近似高维PDE，具有对数或线性的尺度。实验结果表明，该方法与一种新的稳定、准确的压缩谱方法相竞争。

最近的相关研究包括：1.使用深度学习解决PDE的其他方法；2.使用稀疏技术解决PDE的其他方法；3.使用随机采样解决PDE的其他方法。