Finite Operator Learning: Bridging Neural Operators and Numerical Methods for Efficient Parametric Solution and Optimization of PDEs

我们介绍了一种方法，将神经算子、物理知识驱动的机器学习和标准数值方法相结合，用于求解偏微分方程。所提出的方法扩展了上述每种方法，并将它们统一在一个框架中。我们可以以无数据的方式参数化求解偏微分方程，并提供准确的灵敏度，即解空间相对于设计空间的导数。这些能力使得基于梯度的优化不需要像伴随方法那样典型的灵敏度分析成本，不会随着响应函数数量的增加而直接扩大。我们的有限算子学习（FOL）方法使用简单的前馈神经网络模型，将离散的设计空间（即参数输入空间）直接映射到离散的解空间（即任意形状域中有限数量的传感器点），通过将物理规律设计到损失函数中来确保符合物理规律。离散化的控制方程以及设计和解决方案空间可以从任何成熟的数值技术中推导出来。在这项工作中，我们采用有限元方法（FEM）来近似场和它们的空间导数。随后，我们进行 Sobolev 训练，以最小化多目标损失函数，其中包括能量泛函的离散弱形式、边界条件违规以及残差对设计变量的稳定性。我们的研究重点是异质材料中的稳态热方程，该方程展现出显著的相位对比和可能与温度相关的导电性。网络的切向矩阵直接用于基于梯度的优化，以改善微观结构的传热特性。...

论文旨在结合神经算子、物理学指导的机器学习和标准数值方法，提出一种解决偏微分方程（PDE）的方法。

该方法使用前馈神经网络模型将离散化的设计空间直接映射到离散化的解空间，并通过将物理定律设计到损失函数中来确保其符合物理规律。通过这种方法，可以在无需数据的情况下对偏微分方程进行参数求解，并提供准确的灵敏度。

该方法可以实现基于梯度的优化，而不需要传统的灵敏度分析成本。该方法使用有限元方法（FEM）来近似场和空间导数，并使用Sobolev训练来最小化多目标损失函数，包括能量泛函的离散弱形式、边界条件违规以及残差对设计变量的稳定性。该研究重点研究了具有相对差异和可能与温度相关的导电性的异质材料中的稳态热方程。

最近的研究中，也有一些相关的研究，例如：1. "Physics-Informed Deep Learning for Non-Smooth PDEs: Application to Wave Propagation" 2. "A Deep Learning Framework for Solving Forward and Inverse Problems in Eddy Current Non-Destructive Evaluation"