Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs

本文提供了一种基于经典有限元逼近的无需数据依赖的算子学习方法——有限元算子网络(FEONet)的理论分析。我们首先针对神经网络逼近参数，建立了该方法在一般的二阶线性椭圆型偏微分方程(PDEs)中的收敛性分析，探讨了有限元矩阵条件数在方法收敛中的作用。其次，我们针对自伴随情形推导出一个显式的误差估计。为此，我们研究了某些函数类的解的正则性属性，以验证解具有所需正则性的充分条件。最后，我们还进行了一些数值实验，支持理论结果，并确认有限元矩阵条件数在总体收敛中的作用。

分析一种无需数据依赖的算子学习方法，即基于有限元逼近的有限元算子网络(FEONet)。论文旨在解决如何利用神经网络逼近PDEs的问题，以及如何对有限元矩阵的条件数进行控制以提高算法的收敛性。

论文提出了一种基于有限元逼近的算子网络，通过控制有限元矩阵的条件数来实现对PDEs的神经网络逼近，并给出了收敛性的理论证明和自伴情况下的误差估计。

论文在理论上证明了FEONet在一般二阶线性椭圆型PDEs中的收敛性，同时给出了自伴情况下的误差估计，实验结果也验证了有限元矩阵条件数对算法收敛性的影响。此外，论文还探讨了解的正则性问题，并给出了解的正则性的充分条件。

最近的相关研究包括：'Deep Ritz method: A deep learning-based numerical algorithm for solving variational problems'，'Neural Network-based Operator Learning for Nonlinear Model Predictive Control'等。