A Mathematical Theory of Payment Channel Networks

我们提出了一种以可行财富分布多面体 $W_G$ 为核心的支付通道网络几何理论；流动性状态 $L_G$ 通过严格环流投影到 $W_G$ 上。一笔支付是否可行，取决于转账后的财富状态是否仍落在 $W_G$ 内。由此导出一个简洁的吞吐量定律：若 $ζ$ 表示链上结算带宽，$ρ$ 表示支付失败（不可行）的期望比例，则可持续的链下带宽满足 $S = ζ / ρ$。 可行性也可从割区间角度理解：对于任意节点子集 $S$，其总财富必须落在某个区间内，该区间的宽度等于割集容量 $C(δ(S))$。基于此观点，我们展示了多方通道（如币池或通道工厂）如何扩展 $W_G$。将一个 $k$ 方参与的通道建模为一条 $k$-一致超边，可使每个割集的容量在期望意义上增大，从而使 $W_G$ 随 $k$ 单调增长；对单个节点而言，其可访问财富的期望值随 $k/n$ 线性增长。 我们还分析了资金耗尽问题。在线性且不对称手续费的条件下，财富纤维内的成本最小化流会将循环流量推向边界，通常会导致除剩余生成森林以外的所有通道被逐渐耗尽。为此，我们提出三种缓解策略：（i）对每个方向设置对称手续费；（ii）采用凸性或分级手续费（虽能实现有效的流量控制，但若不披露流动性信息，则与源路由机制存在冲突）；（iii）协调式再注资（在同一条财富纤维内选择最优环流进行调整）。 上述结果共同解释了为何传统的两方通道网络难以扩展，以及为何多方通道原语具有更高的资本效率，能够提供更高的预期支付带宽。同时，这些结论也揭示了合理的手续费设计与协同管理如何帮助系统持续运行于可行区域内，从而提升支付网络的可靠性。

论文试图解决支付通道网络（如区块链上的闪电网络）中流动性不足和可扩展性差的问题，尤其是传统两方支付通道在高交易负载下资本效率低、通道易枯竭的缺陷。这属于去中心化金融基础设施中的核心挑战，虽然已有研究关注路由与再平衡，但从几何与组合优化角度系统建模可行财富分布的研究尚属较新方向。

提出一个以多面体 $W_G$ 为核心的几何理论框架，将支付通道网络的可行财富分布建模为图上的严格环流投影；支付可行性等价于转移后财富仍落在 $W_G$ 内。通过引入割区间视角和多边形通道（k方超边），证明多参与者通道能显著扩大 $W_G$，提升资本效率；同时分析费用结构对流动性耗尽的影响，并提出三种缓解机制。相比现有工作，该方法首次将网络流动性形式化为凸几何对象并导出吞吐量定律 $S = \zeta / \rho$，具有理论新颖性。

亮点包括：(1) 建立了支付通道网络的几何模型，导出简洁的可持续带宽公式；(2) 利用割容量区间刻画可行性，揭示多边通道如何在期望意义上拓宽所有割集，使单节点可访问财富随 $k/n$ 线性增长；(3) 从动态流动角度分析非对称线性费用导致通道边界耗尽现象，提出对称费、凸费用与协同补货三种对策；(4) 理论驱动而非仿真为主，未依赖具体数据集或开源代码，但为后续模拟与协议设计提供基础框架；值得深入的方向包括将此模型应用于实际网络拓扑优化、结合机器学习进行流动性预测与费用调节。

1. "Routing in Payment Channel Networks: An Overview" by Prihoda et al. 2. "Lightning Network Scalability with Multi-Hop Payments" by Malavolta et al. 3. "Flare: An Analytical Framework for Modeling the Dynamics of Transaction Fees in Payment Channel Networks" by Avarikioti et al. 4. "Channel Factories: Generalizing the Lightning Network" by Eberhardt and Oliver 5. "Polytope Models of Distributed Systems" by Ghaffari et al. (概念启发)