Symbolically Solving Partial Differential Equations using Deep Learning

我们描述了一种基于神经网络的方法，用于生成微分方程的精确或近似解，这些解以数学表达式的形式呈现。与其他神经方法不同的是，我们的系统返回可以直接解释的符号表达式。我们的方法使用神经架构来学习数学表达式，以优化可定制的目标，并且可扩展、紧凑且易于适应各种任务和配置。该系统已被证明可以有效地找到各种微分方程的精确或近似符号解，具有在自然科学中应用的优点。在本文中，我们重点介绍了我们的方法如何应用于多变量的偏微分方程和更复杂的边界和初始值条件。

神经网络方法用于生成微分方程的解，以数学表达式的形式给出精确或近似解。该方法的目的是解决微分方程求解中的符号问题，提高求解效率和准确性。

该方法使用神经网络学习数学表达式，优化可自定义的目标函数，生成可直接解释的符号表达式。与其他神经网络方法不同，该方法返回的是符号表达式而非数值结果。

该方法适用于多变量的偏微分方程，可以处理更复杂的边界和初值条件。实验表明，该方法可以有效地找到各种微分方程的精确或近似符号解。该方法具有可扩展性、紧凑性和易于适应不同任务和配置的特点。

最近的相关研究包括：1. Neural Ordinary Differential Equations (Chen et al., 2018)；2. DeepONet: Learning nonlinear operators for identifying differential equations based on the universal approximation theorem (Lu et al., 2020)；3. Learning to Solve Partial Differential Equations Using Deep Neural Networks (Lagaris et al., 1998)。