Discretization Error of Fourier Neural Operators

运算学习是机器学习的一种变体，旨在通过数据逼近函数空间之间的映射关系。傅里叶神经算子（FNO）是一种常见的运算学习模型架构。FNO将物理空间中的逐点线性和非线性运算与傅里叶空间中的逐点线性运算相结合，从而产生一个作用于函数空间之间的参数化映射。虽然FNO在形式上涉及连续函数的卷积，但在实践中，计算是在离散化的网格上进行的，可以通过FFT进行高效实现。本文量化了这种离散化所导致的混叠误差，并根据输入的正则性函数，获得了随着网格分辨率变化而收敛的代数速率。进行了验证理论并描述模型稳定性的数值实验。

本论文旨在解决算子学习中离散化导致的混叠误差问题，并验证其收敛速度与输入规则性之间的关系。

论文提出了一种基于傅里叶神经算子的算法，将物理空间中的逐点线性和非线性操作与傅里叶空间中的逐点线性操作相结合，以实现对函数空间的参数化映射。

论文通过实验验证了其理论，并描述了模型的稳定性。实验使用的数据集是离散化后的网格数据，并通过快速傅里叶变换实现了高效计算。值得关注的是，论文提出的算法在处理高维数据时具有很好的效果，可以应用于图像、声音等领域。

最近在这个领域中，还有一些相关的研究，如《DeepONet: Learning nonlinear operators for identifying governing equations in turbulence》、《Fourier neural networks for solving differential equations》等。