Generalization Bound of Gradient Flow through Training Trajectory and Data-dependent Kernel

基于梯度的优化方法在经验上表现出显著的成功，但其理论上的泛化特性仍然只被部分理解。在本文中，我们为梯度流建立了一个泛化界，该界通过一种依赖于数据的核函数——损失路径核（Loss Path Kernel, LPK）——与经典核方法的Rademacher复杂度界对齐，特别是那些基于再生希尔伯特空间（RKHS）范数和核迹的界。与静态核（如神经切线核，NTK）不同，LPK捕捉了整个训练轨迹，并适应数据和优化动态，从而提供了更紧致且更具信息量的泛化保证。此外，该界强调了沿优化轨迹的训练损失梯度范数如何影响最终的泛化性能。我们证明的关键技术成分结合了梯度流的稳定性分析和通过Rademacher复杂度实现的一致收敛。我们的界恢复了现有针对过参数化神经网络的核回归界，并展示了神经网络相较于核方法的学习特征能力。数值实验在真实世界数据集上验证了我们的界与实际泛化差距具有良好的相关性。

论文试图解决梯度优化方法在深度学习中的泛化性能理论分析问题，特别是如何将梯度流的泛化能力与核方法的Rademacher复杂度框架联系起来。这是一个长期存在的开放性问题，尽管梯度优化方法在实践中表现出色，但其理论上的泛化边界仍不完全清楚。

论文提出了一种新的数据依赖型核——损失路径核（Loss Path Kernel, LPK），通过结合梯度流的稳定性分析和Rademacher复杂度的统一收敛理论，建立了梯度流的泛化边界。LPK不仅捕捉了整个训练轨迹，还适应于数据和优化动态，从而提供了比静态核（如NTK）更紧致的泛化保证。此外，该方法揭示了训练过程中损失梯度范数对最终泛化性能的影响。

1. 提出了LPK，能够更好地描述神经网络的特征学习能力，而非仅仅依赖静态核方法；2. 泛化边界可以恢复现有的过参数化神经网络的核回归结果；3. 实验验证了该边界与真实泛化间隙的相关性，使用了多个实际数据集；4. 论文未提及代码开源情况，但实验设计合理，为未来研究提供了明确方向，例如探索不同优化算法下的LPK特性。

相关研究包括：1. Belkin等人的工作探讨了过参数化模型的双下降现象；2. Arora等人研究了神经切线核（NTK）及其在泛化分析中的应用；3. Jacot等人提出了NTK理论以解释深度学习中的优化和泛化行为；4. Bartlett等人分析了深度网络权重范数与泛化的关系。这些研究共同构成了理解深度学习泛化的理论基础，而本文则进一步将优化动态纳入核方法的框架中。