An Uncertainty-aware, Mesh-free Numerical Method for Kolmogorov PDEs

本研究提出了一种适用于解决 Kolmogorov 偏微分方程的无网格数值方法，具有不确定性感知的特点。在该方法中，我们使用高斯过程回归（GPR）来平滑地插值基于 Feynman-Kac 公式的蒙特卡罗方法获得的点值解。该方法具有两个主要优点：1. 由于 GPR 的概率性质，可以进行不确定性评估；2. 无网格计算，可以有效处理高维 PDEs。通过调整核函数并将来自蒙特卡罗样本的噪声信息纳入 GPR 噪声模型，可以提高解的质量。该方法的性能基于后验方差的理论下限进行了严格分析，后验方差可以作为数值解与真实解之间误差的度量。对三个代表性 PDE 进行的广泛测试表明，与现有方法相比，该方法具有高精度和鲁棒性。

解决问题：论文介绍了一种用于解决Kolmogorov PDEs的基于高斯过程回归的无网格数值方法，旨在提高解决高维PDEs的效率和准确性。

关键思路：论文提出了一种利用蒙特卡洛方法和高斯过程回归相结合的方法，通过无网格计算来解决高维PDEs，并通过调整核函数和噪声模型来提高解决方案的质量。

其他亮点：该方法具有两个主要优点：1.利用GPR的概率性进行不确定性评估；2.无网格计算，可以有效处理高维PDEs。论文通过分析后验方差的理论下限来评估方法的性能，并在三个代表性PDEs上进行了广泛的测试，证明了该方法相对于现有方法的高精度和鲁棒性。

相关研究：最近的相关研究包括“基于深度学习的PDEs求解方法”和“有限元方法在PDEs求解中的应用”。