Rigged Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Generalized Eigenfunction Decompositions for Koopman Operators

我们介绍了Rigged Dynamic Mode Decomposition（Rigged DMD）算法，它计算Koopman算子的广义特征函数分解。通过考虑可观测量的演化，Koopman算子将复杂的非线性动力学转化为适合进行谱分析的线性框架。传统的Dynamic Mode Decomposition（DMD）技术虽然强大，但往往难以处理连续谱。Rigged DMD通过数据驱动方法来解决这些挑战，利用系统演化的快照数据来近似Koopman算子的共轭和广义特征函数。在其核心，Rigged DMD通过将Measure-Preserving Extended Dynamic Mode Decomposition与高阶平滑核结合来构建广义Koopman特征函数和模的波包近似。这提供了一个包含离散和连续谱元素的强大分解。我们推导了广义特征函数和谱测度的显式高阶收敛定理。此外，我们提出了一种使用时滞嵌入构建Rigged Hilbert空间的新框架，极大地扩展了该算法的适用性。我们提供了例子，包括具有Lebesgue谱、可积哈密顿系统、Lorenz系统和二维正方形腔内高雷诺数驱动流等系统，证明了Rigged DMD的收敛性、效率和多功能性。这项工作为未来研究和应用连续谱分解铺平了道路。

本论文旨在解决动态模态分解（DMD）技术在处理连续频谱时的困难，并提出一种新的算法——Rigged DMD，通过数据驱动的方式近似Koopman算子的共轭和广义特征函数，使非线性动态变成适合谱分析的线性框架。

Rigged DMD算法通过将Measure-Preserving Extended Dynamic Mode Decomposition与高阶核函数相结合，为广义Koopman特征函数和模构建波包逼近，从而提供了一个包括离散和连续谱元素的强大分解。此外，该算法还提出了一种利用时滞嵌入构建Rigged Hilbert空间的新框架，极大地扩展了算法的适用范围。

本论文提出的Rigged DMD算法在处理连续频谱方面具有高效性和可靠性，且适用于多种系统。论文通过实例展示了算法的收敛性、效率和多样性，包括具有Lebesgue频谱、可积Hamiltonian系统、Lorenz系统和高雷诺数的二维正方形腔内驱动流等。

在这个领域中，最近的相关研究包括《Dynamic mode decomposition with control》、《Koopman spectral analysis of switching dynamics for nonlinear switched systems》等。